Partindo-se das definições de índices físicos, demonstre que:
\quad \gamma_{s a t}=\frac{G+e}{1+e} \cdot \gamma_{w}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, a partir das definições de índices físicos de um solo, que a unidade de peso saturado \gamma_{sat} satisfaz
\gamma_{sat} = \frac{G + e}{1 + e}\,\gamma_{w},
onde G é a gravidade específica dos grãos, e é o índice de vazios e \gamma_{w} é a unidade de peso da água. Vamos usar as definições de peso específico e de índice de vazios para montar essa relação.

Passo 2

Por definição, o peso específico saturado é
\gamma_{sat} = \frac{W_s + W_w}{V},
onde W_s é o peso dos sólidos, W_w o peso da água nos vazios e V o volume total da amostra.

Passo 3

Sabemos que a gravidade específica dos grãos G se define como
G = \frac{\rho_s}{\rho_w},
onde \rho_s e \rho_w são as densidades dos sólidos e da água, respectivamente. Como peso específico \gamma = \rho\,g, depreende-se
\gamma_s = G\,\gamma_w.
Então
W_s = \gamma_s\,V_s = G\,\gamma_w\,V_s,
W_w = \gamma_w\,V_w.

Passo 4

O índice de vazios e é dado por
e = \frac{V_v}{V_s},
logo V_v = e\,V_s. O volume total é
V = V_s + V_v = V_s(1+e).
Substituindo em \gamma_{sat}:
\gamma_{sat} = \frac{G\,\gamma_w\,V_s + \gamma_w\,V_v}{V_s(1+e)} = \frac{\gamma_w\bigl(G\,V_s + V_v\bigr)}{V_s(1+e)} = \frac{\gamma_w\bigl(G + \tfrac{V_v}{V_s}\bigr)}{1+e} = \frac{\gamma_w\,(G + e)}{1+e}.

Resposta

\gamma_{sat} = \frac{G + e}{1 + e}\,\gamma_{w}.

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