Um fio condutor cilíndrico, de raio 2 cm , possui densidade volumétrica de carga \rho_{v}=6 \rho \mathrm{C} / \mathrm{cm}^{3}. (a) Qual a densidade de fluxo elétrico dentro e fora do condutor? (b) Determine a diferença de potencial dentro da estrutura em função da posição radial

Passo 1

O enunciado dá um cilindro de raio a=2\text{ cm} com densidade volumétrica de carga
\rho_{v}=6\,\rho\;\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{cm}^3}\,.
Pede-se
  1. a densidade de fluxo elétrico \mathbf D dentro r\le a e fora r\ge a do cilindro;
  2. a diferença de potencial elétrico dentro do cilindro em função de r.
    Vamos usar a Lei de Gauss para \mathbf D e a relação \mathbf D=\varepsilon_{0}\mathbf E, além de
\Delta V=-\int \mathbf E\cdot d\mathbf l\,.

Passo 2

Escolhemos como superfície de Gauss um cilindro coaxial de raio r e comprimento L. A carga envolvida para r\le a é
Q_{\rm enc}=\int_{0}^{r}\rho_{v}\,2\pi r' L\,dr' =\rho_{v}\,\pi L\,r^{2}\,.
Pela Lei de Gauss,
\oint \mathbf D\cdot d\mathbf S =D_{r}(r)\,\bigl(2\pi rL\bigr) =Q_{\rm enc} =\rho_{v}\,\pi L\,r^{2}
logo, para r\le a,
D_{r}(r) =\frac{\rho_{v}\,\pi L\,r^{2}}{2\pi rL} =\frac{\rho_{v}\,r}{2}\,.
Em vetor:
\mathbf D(r)=\frac{\rho_{v}\,r}{2}\,\hat{\mathbf r}\,,\quad r\le a.

Passo 3

Para r\ge a toda a carga do cilindro de raio a está dentro da superfície de Gauss, então
Q_{\rm enc}=\rho_{v}\,\pi L\,a^{2}
e
D_{r}(r)\,2\pi rL =\rho_{v}\,\pi L\,a^{2} \quad\Longrightarrow\quad D_{r}(r) =\frac{\rho_{v}\,a^{2}}{2\,r}\,.
Assim, para r\ge a,
\mathbf D(r) =\frac{\rho_{v}\,a^{2}}{2\,r}\,\hat{\mathbf r}\,.

Passo 4

Como \mathbf D=\varepsilon_{0}\mathbf E, temos
\mathbf E(r) =\frac{\mathbf D(r)}{\varepsilon_{0}}\,.
Para achar a diferença de potencial dentro do cilindro r\le a com referência na superfície r=a (isto é, V(a)=0), usamos
V(r)-V(a) =-\int_{a}^{r}\mathbf E\cdot d\mathbf l =-\int_{a}^{r}\frac{D_{r}(r')}{\varepsilon_{0}}\,dr' =-\frac{1}{\varepsilon_{0}}\int_{a}^{r}\frac{\rho_{v}\,r'}{2}\,dr'.
Calculando a integral,
V(r)-0 =-\frac{\rho_{v}}{2\varepsilon_{0}} \left[ \frac{{r'}^{2}}{2} \right]_{a}^{r} =-\frac{\rho_{v}}{4\varepsilon_{0}}\bigl(r^{2}-a^{2}\bigr) =\frac{\rho_{v}}{4\varepsilon_{0}}\bigl(a^{2}-r^{2}\bigr).

Resposta

(a)
\mathbf D(r)= \begin{cases} \dfrac{\rho_{v}\,r}{2}\,\hat{\mathbf r}\,,&r\le a,\\[1em] \dfrac{\rho_{v}\,a^{2}}{2\,r}\,\hat{\mathbf r}\,,&r\ge a. \end{cases}
(b) Tomando V(a)=0, para r\le a:
V(r) =\frac{\rho_{v}}{4\varepsilon_{0}}\bigl(a^{2}-r^{2}\bigr).]

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