Quando um objeto, que inicialmente está a 60 c m de um espelho côncavo, move-se 10 c m em direção a ele, a separação entre o objeto e sua imagem torna-se cinco meios maiores. Determine a distância focal do espelho.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (aqui explicito cada número que vamos usar):
A distância inicial do objeto ao espelho é \,60\\ \text{cm}.
O objeto move-se 10\\ \text{cm} em direção ao espelho, portanto a nova distância do objeto ao espelho é \,50\\ \text{cm}.
Depois do movimento, a separação entre o objeto e a sua imagem torna-se “cinco meios maiores”. Vou interpretar isso como “a nova separação é \tfrac{5}{2} vezes a separação inicial” — isto é, \,D_2 = \tfrac{5}{2} D_1.
A pergunta é: determinar a distância focal f do espelho (em centímetros).
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que relaciona distância do objeto p, distância da imagem q e distância focal f para um espelho esférico (equação do espelho):
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}.
Aqui:
p é a distância objeto–espelho (tomada positiva quando o objeto está em frente ao espelho),
q é a distância imagem–espelho (positiva para imagem real em frente ao espelho),
f é a distância focal (positiva para espelho côncavo).
Desta equação podemos isolar q em função de p e f. Além disso, a separação entre objeto e imagem é a diferença de suas distâncias ao espelho (ambos do mesmo lado), ou seja:
Agora, para encontrar f podemos eliminar temporariamente os módulos considerando que tanto o numerador quanto o denominador das frações mudam de sinal simultaneamente somente em pontos que não afetam as soluções reais positivas de f que nos interessam (verificaremos as soluções no final). Então tomamos:
Precisamos verificar que ambas as soluções satisfazem a relação original com os módulos (isto é, que produzem a razão correta de separações). Substituindo cada f: