Quando um objeto, que inicialmente está a 60 c m de um espelho côncavo, move-se 10 c m em direção a ele, a separação entre o objeto e sua imagem torna-se cinco meios maiores. Determine a distância focal do espelho.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (aqui explicito cada número que vamos usar):
  • A distância inicial do objeto ao espelho é \,60\\ \text{cm}.
  • O objeto move-se 10\\ \text{cm} em direção ao espelho, portanto a nova distância do objeto ao espelho é \,50\\ \text{cm}.
  • Depois do movimento, a separação entre o objeto e a sua imagem torna-se “cinco meios maiores”. Vou interpretar isso como “a nova separação é \tfrac{5}{2} vezes a separação inicial” — isto é, \,D_2 = \tfrac{5}{2} D_1.
    A pergunta é: determinar a distância focal f do espelho (em centímetros).

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que relaciona distância do objeto p, distância da imagem q e distância focal f para um espelho esférico (equação do espelho):
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}.
Aqui:
  • p é a distância objeto–espelho (tomada positiva quando o objeto está em frente ao espelho),
  • q é a distância imagem–espelho (positiva para imagem real em frente ao espelho),
  • f é a distância focal (positiva para espelho côncavo).
    Desta equação podemos isolar q em função de p e f. Além disso, a separação entre objeto e imagem é a diferença de suas distâncias ao espelho (ambos do mesmo lado), ou seja:
D=|p-q|.

Passo 3

Isolando q da equação do espelho:
\frac{1}{q}=\frac{1}{f}-\frac{1}{p}=\frac{p-f}{fp} \quad\Rightarrow\quad q=\frac{fp}{p-f}.
Para o caso inicial (subscrito 1) temos p_1=60 e para o caso final (subscrito 2) temos p_2=50. Assim:
q_1=\frac{f\cdot 60}{60-f},\qquad q_2=\frac{f\cdot 50}{50-f}.
As separações são:
D_1=\bigl|60-q_1\bigr|,\qquad D_2=\bigl|50-q_2\bigr|.
Substituindo q_1 e q_2 e simplificando (tirando fator comum em cada expressão):
D_1=\left|60-\frac{60f}{60-f}\right| =60\left|\frac{60-2f}{60-f}\right|,
D_2=\left|50-\frac{50f}{50-f}\right| =50\left|\frac{50-2f}{50-f}\right|.
Pelo enunciado \,D_2=\dfrac{5}{2}D_1. Montando a equação:
50\left|\frac{50-2f}{50-f}\right| = \frac{5}{2}\cdot 60\left|\frac{60-2f}{60-f}\right|.
Podemos simplificar o fator comum 5 dos dois lados: dividindo ambos os lados por 5 obtém-se
\frac{50}{5}\left|\frac{50-2f}{50-f}\right| = \frac{1}{2}\cdot \frac{60}{1}\left|\frac{60-2f}{60-f}\right| \quad\Longrightarrow\quad \frac{10}{1}\left|\frac{50-2f}{50-f}\right| = 30\left|\frac{60-2f}{60-f}\right|.
Dividindo ambos os lados por 10:
\left|\frac{50-2f}{50-f}\right| = 3\left|\frac{60-2f}{60-f}\right|.
Agora, para encontrar f podemos eliminar temporariamente os módulos considerando que tanto o numerador quanto o denominador das frações mudam de sinal simultaneamente somente em pontos que não afetam as soluções reais positivas de f que nos interessam (verificaremos as soluções no final). Então tomamos:
\frac{50-2f}{50-f}=3\cdot\frac{60-2f}{60-f}.

Passo 4

Resolver a equação algébrica sem módulos:
(50-2f)(60-f)=3(60-2f)(50-f).
Expandindo ambos os lados:
3000-170f+2f^2=3\bigl(3000-160f+2f^2\bigr).
Calcule o lado direito e traga tudo para um lado:
3000-170f+2f^2=9000-480f+6f^2 \quad\Longrightarrow\quad 0=6000-310f+4f^2.
Ou, simplificando por 2:
2f^2-155f+3000=0.
Resolver a quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
\Delta = (-155)^2-4\cdot 2\cdot 3000=24025-24000=25,
\sqrt{\Delta}=5.
Então
f=\frac{155\pm 5}{4}.
Isso dá duas raízes:
f_1=\frac{155+5}{4}=\frac{160}{4}=40\\ \text{cm},
f_2=\frac{155-5}{4}=\frac{150}{4}=37,5\\ \text{cm}.

Passo 5

Precisamos verificar que ambas as soluções satisfazem a relação original com os módulos (isto é, que produzem a razão correta de separações). Substituindo cada f:
Para f=40\\ \text{cm}:
q_1=\frac{40\cdot 60}{60-40}=\frac{2400}{20}=120\\ \text{cm}, \quad D_1=|60-120|=60\\ \text{cm},
q_2=\frac{40\cdot 50}{50-40}=\frac{2000}{10}=200\\ \text{cm}, \quad D_2=|50-200|=150\\ \text{cm},
\frac{D_2}{D_1}=\frac{150}{60}=\frac{5}{2}.
Para f=37{,}5\\ \text{cm}:
q_1=\frac{37{,}5\cdot 60}{60-37{,}5}=\frac{2250}{22{,}5}=100\\ \text{cm}, \quad D_1=|60-100|=40\\ \text{cm},
q_2=\frac{37{,}5\cdot 50}{50-37{,}5}=\frac{1875}{12{,}5}=150\\ \text{cm}, \quad D_2=|50-150|=100\\ \text{cm},
\frac{D_2}{D_1}=\frac{100}{40}=\frac{5}{2}.
Ambas as soluções satisfazem exatamente a condição dada. Logo existem duas distâncias focais possíveis que satisfazem o enunciado.

Resposta

f=37,5\\ \text{cm}
f=40\\ \text{cm}

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