1^{\text {a }} Questão: A 300 K e \mathrm{P}=1 bar a constante de equilíbrio da reação a seguir vale é \mathrm{K}=6,024
2 \mathrm{NO}_{2}(\mathrm{~g}) \stackrel{1}{\rightleftarrows} \mathrm{~N}_{2} \mathrm{O}_{4}(\mathrm{~g})
Sabendo que o estudo do equilíbrio pode ser caracterizado pelo fator de dissociação :
\alpha=\frac{\text { número de moléculas de } \mathrm{NO}_{2} \text { dissociadas }}{\text { número inicial de moléculas de } \mathrm{NO}_{2}}úéúé
k_{p}=k_{x} p_{\text {todal }}^{\sum_{i} v_{i}}
a. Forneça a expressão de Kp em função da fração molar.
b. Comentar como será deslocado o equilíbrio se a pressão P dobrar ( \mathrm{P}=2 bar)
c. Calcular \alpha a 300 K e 1 bar e comentar sobre a reação 1 nesta temperatura.
d. Calcular \Delta_{\mathrm{r}} \mathrm{G} e \Delta_{\mathrm{r}} \mathrm{G} a 27^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado e os dados fornecidos (tirei todos os números do enunciado) são:
  • Reação: 2\\ \mathrm{NO}_{2}(\mathrm{g}) \rightleftarrows \mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{4}(\mathrm{g})
  • Temperatura: \,T=300\\ \mathrm{K}.
  • Pressão total: \,P=1\\ \mathrm{bar}.
  • Constante de equilíbrio (àquela temperatura): \,K=6{,}024.
  • Definição do fator de conversão/fração: \displaystyle \alpha=\frac{\text{número de moléculas de NO}_2\\ \text{consumidas}}{\text{número inicial de NO}_2}úéú.
  • Relação dada: \displaystyle k_p=k_x\,p_{\text{total}}^{\sum_i \nu_i} (lembrete: \sum_i\nu_i=\Delta n_{\text{gás}}á).
O enunciado pede:
a. Fornecer a expressão de \,K_p em função da fração molar (e obter expressão útil para o problema).
b. Comentar para que lado o equilíbrio se desloca se a pressão total dobrar ( P\to2 bar).
c. Calcular \alpha a 300 K e 1 bar e comentar sobre a reação nessa temperatura.
d. Calcular \Delta_{\mathrm{r}}G e \Delta_{\mathrm{r}}G^\circ a 27^\circ\mathrm{C} (note que 27^\circ\mathrm{C}=300\\ \mathrm{K}).

Passo 2

Escrever a expressão de \,K_p em termos de pressões parciais e frações molares (passo didático):
  • Definição clássica para gases (a pressão parcial de \,i é \,p_i = x_i\,p_{\text{total}}):
K_p=\frac{p_{\mathrm{N_2O_4}}}{p_{\mathrm{NO_2}}^{2}}.
  • Substituindo p_i = x_i p_{\text{total}} obtemos:
K_p=\frac{x_{\mathrm{N_2O_4}}\,p_{\text{total}}}{\bigl(x_{\mathrm{NO_2}}\,p_{\text{total}}\bigr)^{2}} =\frac{x_{\mathrm{N_2O_4}}}{x_{\mathrm{NO_2}}^{2}}\cdot\frac{1}{p_{\text{total}}}.
Observação: aqui foi usada a relação direta entre pressões parciais e frações molares; todas as variáveis estão definidas: x_i é a fração molar de i e p_{\text{total}} é a pressão total do gás.

Passo 3

Expressar as frações molares em função de \alpha (esquema este que se usa em prova):
  • Suponha que inicialmente há n_0 mol de \mathrm{NO_2} e nenhuma de \mathrm{N_2O_4}.
  • Se a fração \alpha do \mathrm{NO_2} reage (é consumida) para formar \mathrm{N_2O_4}, a quantidade de \mathrm{NO_2} consumida é \alpha n_0. Como a reação consome 2 \mathrm{NO_2} para formar 1 \mathrm{N_2O_4}, o número de mols de \mathrm{N_2O_4} formados é \dfrac{\alpha n_0}{2}.
  • Mols em equilíbrio:
    • \mathrm{NO_2}:\\ n_{\mathrm{NO_2}} = n_0 - \alpha n_0 = n_0(1-\alpha).
    • \mathrm{N_2O_4}:\\ n_{\mathrm{N_2O_4}} = \dfrac{\alpha n_0}{2}.
  • Número total de mols:
n_{\text{total}} = n_0(1-\alpha) + \frac{\alpha n_0}{2} = n_0\Bigl(1-\frac{\alpha}{2}\Bigr).
  • Frações molares:
x_{\mathrm{NO_2}}=\frac{n_{\mathrm{NO_2}}}{n_{\text{total}}} =\frac{1-\alpha}{1-\alpha/2},\qquad x_{\mathrm{N_2O_4}}=\frac{n_{\mathrm{N_2O_4}}}{n_{\text{total}}} =\frac{\alpha/2}{1-\alpha/2}.

Passo 4

Substituir as frações molares na expressão de K_p e obter K_p em função de \alpha (fórmula útil para cálculo):
  • Partindo de
K_p=\frac{x_{\mathrm{N_2O_4}}}{x_{\mathrm{NO_2}}^{2}}\cdot\frac{1}{p_{\text{total}}},
substituindo x:
K_p=\frac{\dfrac{\alpha/2}{1-\alpha/2}}{\left(\dfrac{1-\alpha}{1-\alpha/2}\right)^2}\cdot\frac{1}{p_{\text{total}}} =\frac{\alpha}{2}\cdot\frac{1-\alpha/2}{(1-\alpha)^2}\cdot\frac{1}{p_{\text{total}}}.
  • Então a expressão final, válida para qualquer p_{\text{total}}, é:
\boxed{\,K_p=\frac{\alpha\,(1-\alpha/2)}{2(1-\alpha)^2\,p_{\text{total}}}\, }.
(Se p_{\text{total}}=1\\ \mathrm{bar}, a expressão simplifica retirando o p_{\text{total}} do denominador.)

Passo 5

Resposta à parte (b): comentar o efeito de dobrar a pressão total (argumento físico + verificação pela fórmula):
  • Física (Le Châtelier): a reação tem \Delta n_{\text{gás}}=1-2=-1á (menos mols no lado produto). Aumentar a pressão favorece o lado com menos mols — ou seja, desloca o equilíbrio para a direita, formando mais \mathrm{N_2O_4}.
  • Pela fórmula obtida: K_p é função do produto (x_{\mathrm{N_2O_4}}/x_{\mathrm{NO_2}}^2)/p_{\text{total}}. À temperatura fixa K_p não muda; se p_{\text{total}} aumenta, para manter a igualdade \,\dfrac{\alpha(1-\alpha/2)}{2(1-\alpha)^2 p_{\text{total}}}=K_p a fração \alpha deve aumentar. Conclusão: ao dobrar P o equilíbrio desloca-se para a direita (mais \mathrm{N_2O_4}), portanto \alpha aumenta.

Passo 6

Calcular \alpha a 300 K e 1\\ \mathrm{bar} (parte c), usando K_p=6{,}024 e p_{\text{total}}=1\\ \mathrm{bar}:
  • Como p_{\text{total}}=1\\ \mathrm{bar}, a fórmula do passo anterior vira
K_p=\frac{\alpha(1-\alpha/2)}{2(1-\alpha)^2}.
  • Substituindo K_p=6{,}024 obtemos a equação a resolver:
\alpha\Bigl(1-\frac{\alpha}{2}\Bigr)=2K_p(1-\alpha)^2.
  • Expandindo:
\alpha-\frac{\alpha^2}{2}=2\cdot6{,}024\,(1-2\alpha+\alpha^2)=12{,}048-24{,}096\alpha+12{,}048\alpha^2.
  • Reorganizando tudo num polinômio igual a zero:
12{,}548\,\alpha^2-25{,}096\,\alpha+12{,}048=0.
  • Aplicando a fórmula quadrática, o discriminante resulta em \Delta=25{,}096 e as raízes calculadas são \alpha=1{,}2 e \alpha=0{,}8.
  • Como fisicamente \alpha deve estar entre 0 e 1, a solução válida é
\boxed{\alpha=0{,}80.}
Interpretação rápida: 80\% das moléculas iniciais de \mathrm{NO_2} reagiram (foram convertidas em \mathrm{N_2O_4}), então o equilíbrio favorece fortemente o dímero \mathrm{N_2O_4} a 300 K.

Passo 7

Calcular \Delta_{\mathrm{r}}G^\circ e \Delta_{\mathrm{r}}G a 27^\circ\mathrm{C}=300\\ \mathrm{K} (parte d), com explicação:
  • Fórmula fundamental (ligação entre constante de equilíbrio e energia livre padrão):
\Delta_{\mathrm{r}}G^\circ=-RT\ln K,
onde R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}, T=300\\ \mathrm{K} e K=6{,}024.
  • Cálculo passo a passo:
    • \ln K=\ln(6{,}024)\approx 1{,}7969.
    • RT=8{,}314\times300=2{,}494{,}2\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
    • Portanto
    \Delta_{\mathrm{r}}G^\circ=-RT\ln K =-2{,}494{,}2\times1{,}7969\approx -4{,}483\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}\times10^{0}.Em unidades mais usuais: \boxed{\Delta_{\mathrm{r}}G^\circ\approx -4{,}48\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.}
  • Sobre \Delta_{\mathrm{r}}G (energia livre de reação nas condições reais): a relação geral é
\Delta_{\mathrm{r}}G=\Delta_{\mathrm{r}}G^\circ+RT\ln Q,
onde Q é o quociente de reação. No equilíbrio Q=K, logo \Delta_{\mathrm{r}}G=0. Dado que os dados do enunciado correspondem ao equilíbrio a 300 K e 1 bar (onde K foi medido), conclui-se:
\boxed{\Delta_{\mathrm{r}}G=0\\ \text{(no equilíbrio a 300 K).}}í

Passo 8

Comentário final e interpretação (motivacional):
  • \Delta_{\mathrm{r}}G^\circ<0 indica que, em condições padrão (pressões parciais de 1\\ \mathrm{bar} para cada gás), a reação escrita tende a formar produtos ( \mathrm{N_2O_4}). Isso está de acordo com \alpha=0{,}80 (muito produto formado).
  • Se aumentar a pressão total, a reação desloca-se ainda mais para a direita (aumenta \alpha); se diminuir a pressão, desloca-se para a esquerda. Força boa: lembre que \Delta n=-1 é a pista para usar Le Châtelier.

Resposta

a. K_p=\dfrac{p_{\mathrm{N_2O_4}}}{p_{\mathrm{NO_2}}^{2}}=\dfrac{x_{\mathrm{N_2O_4}}}{x_{\mathrm{NO_2}}^{2}}\cdot\dfrac{1}{p_{\text{total}}}. Em função de \alpha:
K_p=\frac{\alpha\,(1-\alpha/2)}{2(1-\alpha)^2\,p_{\text{total}}}.
b. Ao dobrar P ( P\to2 bar) o equilíbrio desloca-se para a direita (formação de mais \mathrm{N_2O_4}); portanto \alpha aumenta.
c. \alpha=0{,}80.
d. \Delta_{\mathrm{r}}G^\circ(300\\ \mathrm{K})\approx -4{,}48\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
\Delta_{\mathrm{r}}G(300\\ \mathrm{K})=0 (porque o sistema está no equilíbrio).

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