A densidade de energia por intervalo de freqüência ou por comprimento de onda é a mesma. Condição esta assim expressa: \rho(v, T) \mathrm{d} v=\rho(\lambda, T) \mathrm{d} \lambda. Use essa relação para se obter \rho(\lambda, T).

Passo 1

O enunciado pede para usar a condição de conservação da densidade de energia
\rho(\nu,T)\,\mathrm{d}\nu \;=\;\rho(\lambda,T)\,\mathrm{d}\lambda
para obter a forma de \rho(\lambda,T). O conteúdo é a lei de Planck para radiação de corpo negro, relacionando as representações em frequência \nu e em comprimento de onda \lambda.

Passo 2

Vamos começar pela forma bem-conhecida da lei de Planck em função da frequência:
\rho(\nu,T) = \frac{8\pi h\nu^{3}}{c^{3}} \, \frac{1}{\exp\bigl(h\nu/(kT)\bigr)-1}
onde h é a constante de Planck, k a constante de Boltzmann e c a velocidade da luz.

Passo 3

Para mudar de variável usamos a relação entre frequência e comprimento de onda:
\nu = \frac{c}{\lambda} \quad\text{e}\quad \mathrm{d}\nu = -\frac{c}{\lambda^{2}}\,\mathrm{d}\lambda.
Tomamos o valor absoluto do jacobiano ao trocar de variável, ou seja,
\biggl|\frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\lambda}\biggr| = \frac{c}{\lambda^{2}}.

Passo 4

Da igualdade \rho(\nu,T)\,\mathrm{d}\nu = \rho(\lambda,T)\,\mathrm{d}\lambda segue
\rho(\lambda,T) = \rho(\nu,T) \, \biggl|\frac{\mathrm{d}\nu}{\mathrm{d}\lambda}\biggr| = \rho\bigl(\nu=c/\lambda,T\bigr) \;\frac{c}{\lambda^{2}}.
Substituindo \nu = c/\lambda na expressão de \rho(\nu,T):
\rho(\lambda,T) = \frac{8\pi h\,(c/\lambda)^{3}}{c^{3}} \, \frac{1}{\exp\bigl(h(c/\lambda)/(kT)\bigr)-1} \;\frac{c}{\lambda^{2}}.

Passo 5

Agora simplificamos os fatores de c e \lambda:
\frac{(c/\lambda)^{3}}{c^{3}}\;\frac{c}{\lambda^{2}} = \frac{c^{3}}{\lambda^{3}c^{3}}\;\frac{c}{\lambda^{2}} = \frac{c}{\lambda^{5}}.
Logo, a densidade por comprimento de onda fica
\rho(\lambda,T) = \frac{8\pi h\,c}{\lambda^{5}} \, \frac{1}{\exp\bigl(hc/(\lambda kT)\bigr)-1}.

Resposta

\rho(\lambda,T) = \frac{8\pi hc}{\lambda^{5}} \;\frac{1}{\exp\bigl(hc/(\lambda kT)\bigr)-1}.

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