1. Obter a equação N(v) d v=\frac{8 \pi V}{c^{3}} v^{2} d v (equação 1.12 do livro), que dá o número de ondas eletromagnéticas estacionárias possíveis em cada intervalo de freqüência, para o caso de uma cavidade tridimensional na forma de um cubo de paredes metálicas cujas arestas tem comprimento a.

Passo 1

O enunciado pede para derivar a expressão que dá o número de modos eletromagnéticos estacionários cuja frequência está entre \nu e \nu+d\nu num cubo metálico de volume V=a^3. O conteúdo principal é a quantização dos componentes do vetor de onda \mathbf{k} devido às condições de contorno e a contagem de estados em espaço de \mathbf{k}, além da relação de dispersão em vácuo \nu = c|\mathbf{k}|/(2\pi).

Passo 2

Dentro do cubo metálico, cada componente de \mathbf{k}=(k_x,k_y,k_z) deve satisfazer nós nas paredes, levando a
k_x = \frac{\pi n_x}{a},\quad k_y = \frac{\pi n_y}{a},\quad k_z = \frac{\pi n_z}{a},
com n_x,n_y,n_z inteiros positivos. No espaço (n_x,n_y,n_z), cada ponto ocupa volume unitário, e no espaço \mathbf{k} cada “célula” de estados tem volume
\Delta k_x\,\Delta k_y\,\Delta k_z =\Bigl(\frac{\pi}{a}\Bigr)^3.
O número de estados com módulo de onda menor que k é dado pelo volume do oitante positivo de uma esfera de raio k dividido por essa célula:
N_{<k} =\frac{1}{8}\,\frac{\tfrac{4}{3}\pi k^3}{(\pi/a)^3} =\frac{a^3}{6\pi^2}\,k^3 =\frac{V}{6\pi^2}\,k^3.
Cada modo espacial admite 2 polarizações independentes, então
N_{<k}^{\rm (pol)}=2\,N_{<k} =\frac{V}{3\pi^2}\,k^3.

Passo 3

Para obter o número de modos num intervalo [k,k+dk], derivamos
dN^{\rm (pol)}(k) =\frac{d}{dk}\Bigl(\frac{V}{3\pi^2}k^3\Bigr)\,dk =\frac{V}{\pi^2}\,k^2\,dk.
Agora usamos a relação de dispersão em vácuo:
k = \frac{2\pi\nu}{c}, \quad dk = \frac{2\pi}{c}\,d\nu.
Substituindo em dN^{\rm (pol)}:
dN^{\rm (pol)}(\nu) =\frac{V}{\pi^2} \Bigl(\frac{2\pi\nu}{c}\Bigr)^{2} \Bigl(\frac{2\pi}{c}\,d\nu\Bigr) =\frac{8\pi V}{c^3}\,\nu^2\,d\nu.

Resposta

N(\nu)\,d\nu =\frac{8\pi V}{c^{3}}\,\nu^{2}\,d\nu.

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