Planck não se contenta somente em apresentar idéias revolucionárias, mas deixa o seu trabalho completo ao resolver, no mesmo artigo de 1901, a integral I=\int_{0}^{\infty} \frac{x^{3}}{e^{x}-1} d x, que aparece na prova da lei de
Stefan-Boltzmann. Expandindo o denominador, Planck obteve \mathrm{I}=6,4936, valor muito próximo do exato, I=\frac{\pi^{4}}{15} \approx 6,4939. Verifique este resultado.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
I = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{3}}{e^{x}-1}\,dx
é exatamente \pi^{4}/15. O conteúdo principal envolve expansion em série de 1/(e^{x}-1), integração termo a termo e uso da função zeta de Riemann em 4.

Passo 2

Usamos a expansão para e^{x}>1:
\frac{1}{e^{x}-1} = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-n x}.
Logo
I = \int_{0}^{\infty} x^{3}\,\frac{1}{e^{x}-1}\,dx = \int_{0}^{\infty} x^{3}\,\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n x}\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\infty} x^{3} e^{-n x}\,dx,
onde justificamos a troca soma–integral por convergência absoluta.

Passo 3

Para cada n usamos a fórmula da função Gama:
\int_{0}^{\infty} x^{3} e^{-n x}\,dx = \frac{\Gamma(4)}{n^{4}} = \frac{3!}{n^{4}} = \frac{6}{n^{4}}.
Então
I = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{n^{4}} = 6\,\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}.

Passo 4

Reconhecemos a soma como a função zeta de Riemann em 4:
\zeta(4) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}} = \frac{\pi^{4}}{90}.
Portanto
I = 6\,\zeta(4) = 6 \times \frac{\pi^{4}}{90} = \frac{\pi^{4}}{15}.

Passo 5

Para conferir numericamente:
\frac{\pi^{4}}{15}\approx 6,493939\ldots,
o que bate com o valor aproximado 6,4936 encontrado por Planck.

Resposta

I = \frac{\pi^{4}}{15}\approx 6,4939.

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