Planck não se contenta somente em apresentar idéias revolucionárias, mas deixa o seu trabalho completo ao resolver, no mesmo artigo de 1901, a integral
, que aparece na prova da lei de
Stefan-Boltzmann. Expandindo o denominador, Planck obteve
, valor muito próximo do exato,
. Verifique este resultado.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que
é exatamente
. O conteúdo principal envolve expansion em série de
, integração termo a termo e uso da função zeta de Riemann em
.
Passo 2
Usamos a expansão para
:
Logo
onde justificamos a troca soma–integral por convergência absoluta.
Passo 3
Para cada
usamos a fórmula da função Gama:
Então
Passo 4
Reconhecemos a soma como a função zeta de Riemann em
:
Portanto
Passo 5
Para conferir numericamente:
o que bate com o valor aproximado
encontrado por Planck.