A densidade de fluxo elétrico no interior de uma região cilíndrica expressa por |\rho| \leq 5 m é: \mathrm{D}=4 \rho^{2} \hat{\rho} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}.
a) ( 2,0 pts) Calcule a densidade de fluxo elétrico para \rho=2 \mathrm{~m}.
b) (2,0 pts) Calcule a densidade volumétrica de carga elétrica para \rho=2 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado fornece a densidade de fluxo elétrico em coordenadas cilíndricas, válida para |\rho|\le5\:\mathrm{m},
\mathbf{D} = 4\,\rho^{2}\,\hat{\rho}\quad\bigl[\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}\bigr].
Pede-se:
a) o valor de \mathbf{D} em \rho=2\:\mathrm{m};
b) a densidade volumétrica de carga livre \rho_v em \rho=2\:\mathrm{m}.
Para isso usaremos a Lei de Gauss diferencial \nabla\!\cdot\mathbf{D}=\rho_v e a expressão do divergente em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em \rho=2\:\mathrm{m} basta substituir na expressão de \mathbf{D}:
\mathbf{D}(2) =4\,(2)^{2}\,\hat{\rho} =4\cdot4\,\hat{\rho} =16\,\hat{\rho} \quad\bigl[\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}\bigr].

Passo 3

A densidade volumétrica de carga livre vem de
\rho_v = \nabla\!\cdot\mathbf{D}.
Em coordenadas cilíndricas, para um campo puramente radial \mathbf{D}=D_\rho(\rho)\,\hat{\rho}, temos
\nabla\!\cdot\mathbf{D} =\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(\rho\,D_\rho(\rho)\bigr).

Passo 4

Aqui D_\rho(\rho)=4\rho^2, logo
\rho\,D_\rho(\rho)=\rho\cdot4\rho^2=4\rho^3,
\frac{\partial}{\partial\rho}\bigl(4\rho^3\bigr) =12\rho^2,
\nabla\!\cdot\mathbf{D} =\frac{1}{\rho}\,12\rho^2 =12\rho.
Em \rho=2\:\mathrm{m} resulta
\rho_v(2)=12\cdot2=24\quad\bigl[\mathrm{C}/\mathrm{m}^3\bigr].

Resposta

a) \mathbf{D}(2)=16\,\hat{\rho}\:\mathrm{C}/\mathrm{m}^2
b) \rho_v(2)=24\:\mathrm{C}/\mathrm{m}^3

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