Questão 1 ( \mathbf{4 , 0} pts): Considere dois anéis de carga localizados nos planos z= \pm z_{0}. Dado que os anéis têm uma densidade linear de carga uniforme, calcule o campo elétrico no ponto de coordenadas (0,0,0), se:
(a) (1,0) O raio dos dois anéis é igual r=r_{0} e a carga total nos dois anéis é positiva.

Passo 1

O enunciado dá dois anéis de raio r_{0} carregados com densidade linear uniforme, situados nos planos z=+z_{0} e z=-z_{0}. Pede-se o campo elétrico em (0,0,0). O conteúdo é campo no eixo de anel de carga e usaremos a lei de Coulomb e simetria.

Passo 2

Para um anel de raio r_{0} com carga total Q, o campo no ponto do eixo a distância z do centro vale
E_{z}(z) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\, \frac{Q\,z}{\bigl(r_{0}^{2}+z^{2}\bigr)^{3/2}}
apontando no sentido do eixo (positivo se z>0, negativo se z<0).

Passo 3

No ponto (0,0,0), o anel em z=+z_{0} está acima da origem. Para esse anel tomamos z=+z_{0}, então
E_{1z} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\, \frac{Q\,z_{0}}{\bigl(r_{0}^{2}+z_{0}^{2}\bigr)^{3/2}}
mas esse campo aponta de encontro ao anel (para baixo), ou seja, tem componente
\vec E_{1} =\bigl(0,0,-E_{1z}\bigr) =-\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\, \frac{Q\,z_{0}}{\bigl(r_{0}^{2}+z_{0}^{2}\bigr)^{3/2}}\;\hat z.

Passo 4

O anel em z=-z_{0} está abaixo da origem. Aqui z=-z_{0} e o campo no eixo de um anel positivo é
E_{2z} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\, \frac{Q\,(-z_{0})}{\bigl(r_{0}^{2}+z_{0}^{2}\bigr)^{3/2}}
mas esse valor negativo indica que o campo efetivo aponta para cima, ou seja
\vec E_{2} =\bigl(0,0,+|E_{2z}|\bigr) =+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\, \frac{Q\,z_{0}}{\bigl(r_{0}^{2}+z_{0}^{2}\bigr)^{3/2}}\;\hat z.

Passo 5

Somando os vetores
\vec E =\vec E_{1}+\vec E_{2} =-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\, \frac{Q\,z_{0}}{\bigl(r_{0}^{2}+z_{0}^{2}\bigr)^{3/2}}\;\hat z \;+\; \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\, \frac{Q\,z_{0}}{\bigl(r_{0}^{2}+z_{0}^{2}\bigr)^{3/2}}\;\hat z =0.

Resposta

O campo elétrico em (0,0,0) é
\boxed{\vec E=\vec 0.}

Exercícios relacionados