( 2,0 pts) Considere duas cargas pontuais de 8 \pi \varepsilon_{0} C e -4 \pi \varepsilon_{0} C localizadas, respectivamente, nos pontos (0,0,-1) e (0,0,1), no sistema de coordenadas retangulares. Calcule o campo elétrico no ponto ( 0,0,0 ).

Passo 1

O enunciado dá duas cargas pontuais
q_{1}=8\pi\varepsilon_{0},\quad q_{2}=-4\pi\varepsilon_{0}
em (0,0,-1) e (0,0,1), respectivamente, e pede o campo elétrico em (0,0,0). Vamos usar a Lei de Coulomb para campo de carga pontual:
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\sum_{i}q_{i}\,\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_{i}}{\bigl\|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{i}\bigr\|^{3}}.

Passo 2

Identificamos o vetor posição do ponto de observação \mathbf{r}=(0,0,0) e das cargas:
\mathbf{r}_{1}=(0,0,-1),\quad \mathbf{r}_{2}=(0,0,1).
Logo os vetores de \mathbf{r}_{i} até \mathbf{r} são
\mathbf{r}-\mathbf{r}_{1}=(0,0,1),\quad \mathbf{r}-\mathbf{r}_{2}=(0,0,-1),
ambos de módulo \,1.

Passo 3

Campo devido a q_{1}:
\mathbf{E}_{1} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;q_{1}\;\frac{(0,0,1)}{1^{3}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;8\pi\varepsilon_{0}\;(0,0,1) =2\,(0,0,1).

Passo 4

Campo devido a q_{2}:
\mathbf{E}_{2} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;q_{2}\;\frac{(0,0,-1)}{1^{3}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;(-4\pi\varepsilon_{0})\;(0,0,-1) =-1\,(0,0,-1) =(0,0,1).

Passo 5

Somando os dois campos:
\mathbf{E}=\mathbf{E}_{1}+\mathbf{E}_{2} =2\,(0,0,1)+(0,0,1) =(0,0,3).

Resposta

O campo elétrico em (0,0,0) é
\mathbf{E}=(0,0,3)\\ \text{N/C}.

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