( \mathbf{3 , 0} pontos) Apresente e interprete os enunciados de Kelvin e Clausius para a Segunda lei da Termodinâmica. Prove que um implica no outro.

Passo 1

O enunciado pede para apresentar e interpretar os enunciados de Kelvin e de Clausius para a Segunda Lei da Termodinâmica e então provar que cada um implica o outro. Para isso precisaremos das noções de reservatórios de calor (reservatório quente à temperatura T_h e reservatório frio à temperatura T_c), de trocas de calor Q e de trabalho W, além de conceitos de máquinas térmicas reversíveis (Carnot).

Passo 2

Enunciado de Kelvin (ou de Kelvin–Planck):
“É impossível construir uma máquina térmica que, operando em ciclo, converta integralmente em trabalho o calor absorvido de um único reservatório.”
Interpretação: em todo ciclo térmico que absorve calor Q_h de um reservatório à temperatura T_h, parte desse calor deve ser rejeitada a outro reservatório; não se pode ter Q_{\rm rejeitado}=0 enquanto W>0.

Passo 3

Enunciado de Clausius:
“É impossível realizar um processo cíclico cujo único efeito seja a transferência de calor de um reservatório mais frio para outro mais quente, sem investimento de trabalho.”
Interpretação: não existe processo espontâneo que leve calor Q de um reservatório à temperatura T_c para outro à temperatura T_h>T_c sem fornecimento de trabalho externo.

Passo 4

Prova de Kelvin \Rightarrow Clausius
1. Suponha que o enunciado de Clausius seja violado. Então existe um ciclo A que transfere calor Q do reservatório frio ( T_c) para o quente ( T_h) sem trabalho externo.
2. Considere agora uma máquina de Kelvin–Planck B que opera entre T_h e T_c, absorvendo Q de T_h, rejeitando Q_c em T_c e realizando trabalho W=Q-Q_c. Por hipótese Kelvin–Planck não é violado por B.
3. Conecte A e B de forma que B utilize o calor Q de T_h e rejeite Q_c em T_c, enquanto A retira esse mesmo Q_c do frio e o devolve ao quente.
4. O efeito combinado é um ciclo que retira calor Q de T_h, converte-o completamente em trabalho W (pois Q absorvido por B retorna a T_h via A) e não troca calor com outro reservatório.
5. Isso viola o enunciado de Kelvin. Portanto, se Kelvin é verdadeiro, Clausius não pode ser violado. Logo Kelvin \Rightarrow Clausius.

Passo 5

Prova de Clausius \Rightarrow Kelvin
1. Suponha que o enunciado de Kelvin seja violado. Então existe um ciclo C que absorve calor Q_h de T_h e converte totalmente em trabalho W=Q_h, sem rejeitar calor.
2. Considere um refrigerador reversível (máquina de Carnot operando como bomba) D entre os mesmos reservatórios, usando trabalho W para transferir calor Q_c de T_c para T_h.
3. Ligue C e D de modo que C forneça trabalho W a D. O resultado combinado é um processo cíclico cujo único efeito líquido é a retirada de calor Q_c de T_c e sua passagem para T_h.
4. Isso viola o enunciado de Clausius. Portanto, se Clausius é verdadeiro, Kelvin não pode ser violado. Logo Clausius \Rightarrow Kelvin.

Resposta

Enunciado de Kelvin: “Impossível máquina térmica cíclica que converta integralmente calor de um único reservatório em trabalho.”
Enunciado de Clausius: “Impossível processo cíclico cujo único efeito seja transferir calor de corpo frio para corpo quente sem trabalho.”
Demonstração de implicação: mostramos que violar Clausius leva a violar Kelvin e vice-versa, provando assim a equivalência lógica dos dois enunciados.

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