A densidade linear de carga de um bastão de comprimento L é dada por : lambda=lambda0+2 x (com 0 <= x <= L ). Qual é a carga total do bastão?

Passo 1

Então, o exercício diz o seguinte: temos um bastão de comprimento lambda(x) = lambda0 + 2x, cuja densidade linear de carga varia com a posição segundo a fórmula
para . A pergunta é: qual é a carga total desse bastão?
Conteúdo da matéria: eletrostática – densidade linear de carga e cálculo de integrais.
O que vamos precisar: entender que densidade linear significa carga por unidade de comprimento, e que, para achar a carga total, a gente integra de até .

Passo 2

O total de carga dq = lambda(x),dx é a soma (integração) de todas as “pedaçadinhas” de carga Q = integral0^L dq = integral0^L lambda(x),dx ao longo do bastão. Por definição:
Então

Passo 3

Agora a gente substitui Q = integral0^L (lambda0 + 2x),dx dentro da integral:
Q = integral0^L lambda0,dx ;+; integral0^L 2x,dx
Para resolver, dividimos em duas integrais:

Passo 4

Vamos calcular cada uma:

  1. Aqui usamos que é constante e sai da integral.

  2. A gente usa a regra básica .

Passo 5

Somando as duas partes, a carga total é
Q = lambda0,L + L^2

Resposta

boxedQ = lambda0,L + L^2

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