Um ioiô possui um momento de inércia de 9,0 g m2 e uma massa de 166,1 g. O raio de seu eixo é 8,0 mm e sua corda tem 166,1 cm de comprimento. O iôiô rola, a partir do repouso, até a extremidade da corda, com aceleração constante igual a 100 m / s^2. Ao chegar à extremidade da corda, qual é a energía total do sistema (energia cinética de translação e rotação)? Considere a acelaração da gravidade igual a 9.8 m / s^2.

Passo 1

Ok, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um ioiô com alguns dados: momento de inércia de 9,0, g cdot m^2, massa de 166,1, g, raio do eixo de 8,0, mm e comprimento da corda de 166,1, cm. O ioiô parte do repouso e rola até o fim da corda com aceleração constante de 100, m/s^2. Queremos encontrar a energia total do sistema, que inclui a energia cinética de translação e de rotação, quando o ioiô chega à extremidade da corda. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, dinâmica rotacional e energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI):
  • Massa: 166,1, g = 0,1661, kg
  • Raio: 8,0, mm = 0,008, m
  • Comprimento da corda: 166,1, cm = 1,661, m

Passo 3

Como o ioiô parte do repouso e acelera de forma constante até o final da corda, podemos usar as equações da cinemática para encontrar a velocidade final v do ioiô.
A equação que relaciona velocidade, aceleração e distância percorrida é:
v^2 = v0^2 + 2 a s
Onde:
  • v0 = 0 (parte do repouso)
  • a = 100, m/s^2
  • s = 1,661, m
Substituindo os valores:
v^2 = 0 + 2 times 100, m/s^2 times 1,661, m = 332,2, m^2/s^2
Então,
v = raiz332,2, m/s approx 18,23, m/s

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia cinética total do sistema, que é a soma da energia cinética de translação ( Etrans) e da energia cinética de rotação ( Erot).
A energia cinética de translação é dada por:
Etrans = 12 m v^2
E a energia cinética de rotação é:
Erot = 12 I omega^2
Onde:
  • m = 0,1661, kg
  • v = 18,23, m/s
  • I = 9,0, g cdot m^2 = 0,009, kg cdot m^2
  • omega é a velocidade angular

Passo 5

Precisamos relacionar a velocidade linear v com a velocidade angular omega. Como o ioiô está rolando sem deslizar, temos:
v = omega r
Portanto,
omega = vr = 18,23, m/s0,008, m = 2278,75, rad/s

Passo 6

Agora, vamos calcular cada parte da energia cinética.
Primeiro, a energia cinética de translação:
Etrans = 12 times 0,1661, kg times (18,23, m/s)^2 approx 12 times 0,1661 times 332,29 approx 27,62, J
Em seguida, a energia cinética de rotação:
Erot = 12 times 0,009, kg cdot m^2 times (2278,75, rad/s)^2 approx 12 times 0,009 times 5.190.753 approx 23,36, J

Passo 7

Finalmente, somamos as duas energias para obter a energia total do sistema:
Etotal = Etrans + Erot = 27,62, J + 23,36, J = 50,98, J

Resposta

A energia total do sistema ao chegar à extremidade da corda é aproximadamente 51,0, J.

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