Um ioiô possui um momento de inércia de
m2 e uma massa de
. O raio de seu eixo é
e sua corda tem
de comprimento. O iôiô rola, a partir do repouso, até a extremidade da corda, com aceleração constante igual a
. Ao chegar à extremidade da corda, qual é a energía total do sistema (energia cinética de translação e rotação)? Considere a acelaração da gravidade igual a
.
Passo 1
Ok, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um ioiô com alguns dados: momento de inércia de
, massa de
, raio do eixo de
e comprimento da corda de
. O ioiô parte do repouso e rola até o fim da corda com aceleração constante de
. Queremos encontrar a energia total do sistema, que inclui a energia cinética de translação e de rotação, quando o ioiô chega à extremidade da corda. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, dinâmica rotacional e energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI):
- Massa:
- Raio:
- Comprimento da corda:
Passo 3
Como o ioiô parte do repouso e acelera de forma constante até o final da corda, podemos usar as equações da cinemática para encontrar a velocidade final
do ioiô.
A equação que relaciona velocidade, aceleração e distância percorrida é:
Onde:
-
(parte do repouso) -
-
Substituindo os valores:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia cinética total do sistema, que é a soma da energia cinética de translação (
) e da energia cinética de rotação (
).
A energia cinética de translação é dada por:
E a energia cinética de rotação é:
Onde:
-
-
-
-
é a velocidade angular
Passo 5
Precisamos relacionar a velocidade linear
com a velocidade angular
. Como o ioiô está rolando sem deslizar, temos:
Portanto,
Passo 6
Agora, vamos calcular cada parte da energia cinética.
Primeiro, a energia cinética de translação:
Em seguida, a energia cinética de rotação:
Passo 7
Finalmente, somamos as duas energias para obter a energia total do sistema:
Resposta
A energia total do sistema ao chegar à extremidade da corda é aproximadamente
.