[Densidade
] O objetivo desse exercício é mostrar que para quaisquer
e quaisquer matrizes
e
os polinômios característicos
e
satisfazem a seguinte relação:
Em particular, para matrizes quadradas
e
temos que
. Também, segue que, a menos de
e
têm os mesmos autovalores, com a mesma multiplicidade.
a Mostre que o resultado vale para
invertível ( e logo
).
b Mostre que
é denso em
com sua topologia usual.
c Deduza que o resultado é válido para
não necessariamente invertível.
d Deduza que o resultado é válido para quaisquer
.
e O resultado é valido se considerarmos os polinômios minimais
e
e
?
a Mostre que o resultado vale para
b Mostre que
c Deduza que o resultado é válido para
d Deduza que o resultado é válido para quaisquer
e O resultado é valido se considerarmos os polinômios minimais
Passo 1
O exercício pede para mostrar que para quaisquer naturais não nulos n,m e matrizes A∈M_{n×m}(ℂ), B∈M_{m×n}(ℂ) vale a identidade
Em particular, se A e B são quadradas, P_{AB}=P_{BA}, de onde AB e BA têm os mesmos autovalores não nulos com mesma multiplicidade. Vamos usar teoria de polinômio característico, similaridade, densidade de GL_n(ℂ) e continuidade de determinante.
Passo 2
Parte (a): suponha A invertível. Então necessariamente n=m e
ou seja, AB e BA são matrizes similares. Como o polinômio característico é invariante por similaridade,
Multiplicando ambos os lados por (-1)^n x^n temos:
que coincide com a fórmula geral quando n=m.
Passo 3
Parte (b): mostrar que GL_n(ℂ) é denso em M_n(ℂ). Dada M∈M_n(ℂ), considere a família
$$M_ε = M + εI_n,
$$
onde ε∈ℂ. Como det(M_ε)=det(M+εI) é um polinômio não-nulo em ε, existem infinitos ε≠0 com det(M_ε)≠0, ou seja M_ε∈GL_n(ℂ). Além disso M_ε→M quando ε→0. Logo toda vizinhança de M contém inversíveis.
onde ε∈ℂ. Como det(M_ε)=det(M+εI) é um polinômio não-nulo em ε, existem infinitos ε≠0 com det(M_ε)≠0, ou seja M_ε∈GL_n(ℂ). Além disso M_ε→M quando ε→0. Logo toda vizinhança de M contém inversíveis.
Passo 4
Parte ©: deduzir o caso A singular (mas quadrada). Pela densidade, existe A_k∈GL_n(ℂ) com A_k→A. Pela parte (a)
$$(-1)^n x^n P_{A_kB}(x) = (-1)^n x^n P_{BA_k}(x).
$$
Passo 5
Parte (d): caso geral n×m. Usamos a identidade determinantal
$$\det(I_n - \tfrac1x AB)=\det(I_m - \tfrac1x BA).
=x^n\det\bigl(I_m-\tfrac1xBA\bigr)
=x{n-m}\det(xI_m-BA)=x{n-m}P_{BA}(x).
=x{n-m}\det(xI_m-BA)=x{n-m}P_{BA}(x).
$$
Passo 6
Parte (e): a identidade não se estende aos polinômios minimais. Por exemplo, tome
$$A=
\in M_{2×1}(ℂ),\quad B=
\in M_{1×2}(ℂ).
$$
Logo o polinômio mínimo de AB é , mas o de BA é
. São diferentes.
Logo o polinômio mínimo de AB é
Passo 7
Resposta
A igualdade
(-1)^m x^m P_{AB}(x)=(-1)^n x^n P_{BA}(x)
é válida para todos os casos (a)–(d) envolvendo polinômios característicos. Porém não se estende aos polinômios minimais, como mostra o contraexemplo em (e).
(-1)^m x^m P_{AB}(x)=(-1)^n x^n P_{BA}(x)
é válida para todos os casos (a)–(d) envolvendo polinômios característicos. Porém não se estende aos polinômios minimais, como mostra o contraexemplo em (e).