[Densidade n, m in ] O objetivo desse exercício é mostrar que para quaisquer N-0 A in Mn times m(C) e quaisquer matrizes B in Mm times n(C) e PA B os polinômios característicos PB A e (-1)^m x^m cdot PA B(x)=(-1)^n x^n cdot PB A(x) satisfazem a seguinte relação:
A
Em particular, para matrizes quadradas B e PA B(x)=PB A(x) temos que lambda=0, A B. Também, segue que, a menos de B A e A têm os mesmos autovalores, com a mesma multiplicidade.
a Mostre que o resultado vale para n=m invertível ( e logo Gln(C) ).
b Mostre que Mn(C) é denso em n=m com A com sua topologia usual.
c Deduza que o resultado é válido para n, m in N-0 não necessariamente invertível.
d Deduza que o resultado é válido para quaisquer mA B.
e O resultado é valido se considerarmos os polinômios minimais mB A de A B e B A e ?

Passo 1

O exercício pede para mostrar que para quaisquer naturais não nulos n,m e matrizes A∈M_{n×m}(ℂ), B∈M_{m×n}(ℂ) vale a identidade
(-1)^m x^m PAB(x)=(-1)^n x^n PBA(x)
Em particular, se A e B são quadradas, P_{AB}=P_{BA}, de onde AB e BA têm os mesmos autovalores não nulos com mesma multiplicidade. Vamos usar teoria de polinômio característico, similaridade, densidade de GL_n(ℂ) e continuidade de determinante.

Passo 2

Parte (a): suponha A invertível. Então necessariamente n=m e
BA = A^-1(AB)A,
ou seja, AB e BA são matrizes similares. Como o polinômio característico é invariante por similaridade,
PAB(x)=PBA(x)
Multiplicando ambos os lados por (-1)^n x^n temos:
(-1)^n x^n PAB(x) = (-1)^n x^n PBA(x),
que coincide com a fórmula geral quando n=m.

Passo 3

Parte (b): mostrar que GL_n(ℂ) é denso em M_n(ℂ). Dada M∈M_n(ℂ), considere a família
$$M_ε = M + εI_n,
$$
onde ε∈ℂ. Como det(M_ε)=det(M+εI) é um polinômio não-nulo em ε, existem infinitos ε≠0 com det(M_ε)≠0, ou seja M_ε∈GL_n(ℂ). Além disso M_ε→M quando ε→0. Logo toda vizinhança de M contém inversíveis.

Passo 4

Parte ©: deduzir o caso A singular (mas quadrada). Pela densidade, existe A_k∈GL_n(ℂ) com A_k→A. Pela parte (a)
$$(-1)^n x^n P_{A_kB}(x) = (-1)^n x^n P_{BA_k}(x).
(-1)^n x^n PAkB(x) = (-1)^n x^n PBAk(x) (-1)^n x^n P_{AB}(x) = (-1)^n x^n P_{BA}(x).
$$

Passo 5

Parte (d): caso geral n×m. Usamos a identidade determinantal
$$\det(I_n - \tfrac1x AB)=\det(I_m - \tfrac1x BA).
det(In - tfrac1x AB)=det(Im - tfrac1x BA) ãP_{AB}(x)=\det(xI_n-AB)=x^n\det\bigl(I_n-\tfrac1xAB\bigr)
=x^n\det\bigl(I_m-\tfrac1xBA\bigr)
=x{n-m}\det(xI_m-BA)=x{n-m}P_{BA}(x).
PAB(x)=det(xIn-AB)=x^ndetl(In-tfrac1xABr) =x^ndetl(Im-tfrac1xBAr) =x^n-mdet(xIm-BA)=x^n-mPBA(x) (-1)^m x^m P_{AB}(x)=(-1)^n x^n P_{BA}(x).
$$

Passo 6

Parte (e): a identidade não se estende aos polinômios minimais. Por exemplo, tome
$$A= A=10in M2×1(ℂ), B=1 & 0in M1×2(ℂ) \in M_{2×1}(ℂ),\quad B= AB=1&00&0, BA=1 \in M_{1×2}(ℂ).
mAB(x)=x(x-1)ãAB= mBA(x)=x-1,\quad BA= .
$$
Logo o polinômio mínimo de AB é , mas o de BA é . São diferentes.

Passo 7

Resposta

A igualdade
(-1)^m x^m P_{AB}(x)=(-1)^n x^n P_{BA}(x)
é válida para todos os casos (a)–(d) envolvendo polinômios característicos. Porém não se estende aos polinômios minimais, como mostra o contraexemplo em (e).

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