Seja
uma transformação linear em
definida por:
fixos.
Determine as condições que
e
devem satisfazer para T admitir inversa, e obtenha a expressão de
.
Determine as condições que
Passo 1
O enunciado nos dá uma transformação linear em
dada por
. A tarefa é achar as condições sobre
para que
seja invertível e, em seguida, obter explicitamente
.
Passo 2
Para uma transformação linear
ser inversível, seu núcleo deve ser apenas o vetor nulo. Ou seja, se
então
.
Aplicando isso ao nosso caso, temos que
Aplicando isso ao nosso caso, temos que
Passo 3
Isso força
Passo 4
Para que cada equação só tenha a solução trivial
, precisamos que
para
.
Portanto, a condição de invertibilidade é
Portanto, a condição de invertibilidade é
Passo 5
Para encontrar
, dado um vetor
na imagem de
, buscamos
tal que
Passo 6
Resolvendo para cada componente obtemos
Resposta
As condições para
ser invertível são
,
e
. O inverso é dado por