Seja T uma transformação linear em R^3 definida por:
a1, a2 fixos.
Determine as condições que a3 e T^-1 devem satisfazer para T admitir inversa, e obtenha a expressão de .

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear em R^3 dada por T(x1,x2,x3)=(a1x1,,a2x2,,a3x3). A tarefa é achar as condições sobre a1,a2,a3 para que T seja invertível e, em seguida, obter explicitamente T^-1.

Passo 2

Para uma transformação linear T: R^3toR^3 ser inversível, seu núcleo deve ser apenas o vetor nulo. Ou seja, se T(x1,x2,x3)=(0,0,0) então (x1,x2,x3)=(0,0,0).
Aplicando isso ao nosso caso, temos que
T(x1,x2,x3)=(0,0,0)implies (a1x1,,a2x2,,a3x3)=(0,0,0)

Passo 3

Isso força
a1x1=0, a2x2=0, a3x3=0

Passo 4

Para que cada equação só tenha a solução trivial xi=0, precisamos que aineq0 para i=1,2,3.
Portanto, a condição de invertibilidade é
a1neq0, a2neq0, a3neq0

Passo 5

Para encontrar T^-1, dado um vetor (y1,y2,y3) na imagem de T, buscamos (x1,x2,x3) tal que
T(x1,x2,x3)=(y1,y2,y3)iff (a1x1,,a2x2,,a3x3)=(y1,y2,y3)

Passo 6

Resolvendo para cada componente obtemos
x1=y1a1, x2=y2a2, x3=y3a3

Resposta

As condições para T ser invertível são a1neq0, a2neq0 e a3neq0. O inverso é dado por
T^-1(y1,y2,y3)=l(y1a1,,y2a2,,y3a3r)

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