Seja T uma transformação linear do espaço P2 em si próprio, definida por:
T(1)=1+x ; T(x)=3-x^2 ; T(x^2)=4+2 x-3 x^2
a) Calcule .
b) A transformação T tem inversa? Justifique.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a transformação linear Tcolon P2to P2 definida pelos valores em uma base canônica ( T(1)=1+x, T(x)=3-x^2, T(x^2)=4+2x-3x^2). Precisamos calcular T(2-2x+3x^2) e verificar se T é invertível, usando linearidade e representação matricial.

Passo 2

Para calcular T(2-2x+3x^2), aplicamos a propriedade de linearidade:
T(2-2x+3x^2)=2,T(1)-2,T(x)+3,T(x^2)

Passo 3

Substituindo os valores dados e agrupando termos semelhantes, obtemos:
2(1+x)-2(3-x^2)+3(4+2x-3x^2)=2+2x-6+2x^2+12+6x-9x^2=8+8x-7x^2

Passo 4

Para verificar a invertibilidade de T, representamos T na base 1,x,x^2. As colunas da matriz M são as coordenadas de T(1), T(x) e T(x^2):
M= 1 & 3 & 4 1 & 0 & 2 0 & -1 & -3

Passo 5

Calculamos o determinante de M:
det(M)=1cdot(0cdot(-3)-2cdot(-1))-3cdot(1cdot(-3)-2cdot0)+4cdot(1cdot(-1)-0cdot1)=2+9-4=7
Como det(M)=7neq0, concluímos que T é invertível.

Resposta

a) T(2-2x+3x^2)=8+8x-7x^2.
b) Sim. Como a matriz associada a T na base 1,x,x^2 tem determinante 7neq0, T é invertível.

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