Seja T uma transformação linear do espaço em si próprio, definida por:
a) Calcule .
b) A transformação T tem inversa? Justifique.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a transformação linear definida pelos valores em uma base canônica (, , ). Precisamos calcular e verificar se é invertível, usando linearidade e representação matricial.
Passo 2
Para calcular , aplicamos a propriedade de linearidade:
Passo 3
Substituindo os valores dados e agrupando termos semelhantes, obtemos:
Passo 4
Para verificar a invertibilidade de , representamos na base . As colunas da matriz são as coordenadas de , e :
Passo 5
Calculamos o determinante de M:
det(M)=1cdot(0cdot(-3)-2cdot(-1))-3cdot(1cdot(-3)-2cdot0)+4cdot(1cdot(-1)-0cdot1)=2+9-4=7
Como det(M)=7neq0, concluímos que T é invertível.
Resposta
a) T(2-2x+3x^2)=8+8x-7x^2.
b) Sim. Como a matriz associada a T na base 1,x,x^2 tem determinante 7neq0, T é invertível.