A densidade de uma substância em um ponto (x, y) em um plano é definida por
rho(x, y) = 150 * e^(-0.1 * (x^2 + 2 * y^2))
Considere a densidade em unidades de massa por volume, e x e y em metros.
Se um detector de densidade estiver no ponto (2,1) e se mover para a direita, a densidade aumentará ou diminuirá? E se ele se mover para cima (em relação à orientação do plano x y )? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a densidade de uma substância em pontos de um plano, dada pela função
Aqui, representa a densidade em unidades de massa por volume, e e são medidas em metros. O que queremos descobrir é se, no ponto , a densidade aumenta ou diminui quando o detector se move para a direita (aumentando ) ou para cima (aumentando ). Para resolver isso, vamos precisar entender como a densidade muda nas direções de e , usando conceitos de cálculo como derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a densidade varia quando mudamos ou . Isso nos leva ao conceito de derivadas parciais. Uma derivada parcial mede a taxa de variação da função em uma direção específica, mantendo a outra variável constante. No nosso caso, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , denotada por . A função é:
Para derivar em relação a , tratamos como constante. A derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a . Aqui, , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por . Seguindo o mesmo raciocínio:

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliá-las no ponto :
  • Para :
  • Para :
Sabemos que é um número positivo menor que 1, então ambos os resultados são negativos.

Passo 6

Interpretando os resultados:
  • : Isso significa que, ao aumentar (mover para a direita), a densidade diminui.
  • : Isso indica que, ao aumentar (mover para cima), a densidade também diminui.

Resposta

No ponto , ao mover para a direita, a densidade diminui, e ao mover para cima, a densidade também diminui.

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