A densidade de uma substância em um ponto em um plano é definida por
Considere a densidade em unidades de massa por volume, e e y em metros.
Se um detector de densidade estiver no ponto e se mover para a direita, a densidade aumentará ou diminuirá? E se ele se mover para cima (em relação à orientação do plano )? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a densidade de uma substância em pontos de um plano, dada pela função
Aqui, representa a densidade em unidades de massa por volume, e e são medidas em metros. O que queremos descobrir é se, no ponto , a densidade aumenta ou diminui quando o detector se move para a direita (aumentando ) ou para cima (aumentando ). Para resolver isso, vamos precisar entender como a densidade muda nas direções de e , usando conceitos de cálculo como derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a densidade varia quando mudamos ou . Isso nos leva ao conceito de derivadas parciais. Uma derivada parcial mede a taxa de variação da função em uma direção específica, mantendo a outra variável constante. No nosso caso, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a .
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de em relação a , denotada por . A função é:
Para derivar em relação a , tratamos como constante. A derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a . Aqui, , então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por . Seguindo o mesmo raciocínio:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliá-las no ponto :
Para :
Para :
Sabemos que é um número positivo menor que 1, então ambos os resultados são negativos.
Passo 6
Interpretando os resultados:
: Isso significa que, ao aumentar (mover para a direita), a densidade diminui.
: Isso indica que, ao aumentar (mover para cima), a densidade também diminui.
Resposta
No ponto , ao mover para a direita, a densidade diminui, e ao mover para cima, a densidade também diminui.