Uma densidade superficial de carga de \rho_{S}=12 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} está uniformemente distribuída sobre a superfície de um cilindro de comprimento infinito e com raio de 4 cm . Determine o campo elétrico na direção radial, a 6 cm do eixo do cilindro.

Passo 1

O enunciado dá uma densidade superficial de carga \rho_{S}=12\times10^{-9}\,\mathrm{C/m^{2}}
sobre um cilindro infinito de raio a=4\,\mathrm{cm}, e quer o campo elétrico radial a r=6\,\mathrm{cm}.
O conteúdo é simetria cilíndrica e aplicação da Lei de Gauss.

Passo 2

Escolhemos como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio r=0{,}06\,\mathrm{m} e comprimento L.
Por simetria, o campo \mathbf E é radial e uniforme em módulo sobre essa superfície lateral.

Passo 3

A carga total interna é a que está sobre a superfície do cilindro de raio a. Logo,
Q_{\mathrm{int}} =\rho_{S}\times(\text{área carregada}) =\rho_{S}\times2\pi a L.á

Passo 4

Pela Lei de Gauss,
\oint \mathbf E\cdot d\mathbf A =E\,(2\pi r L) =\frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E =\frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_{0}\,2\pi r L} =\frac{\rho_{S}\,a}{\varepsilon_{0}\,r}.

Passo 5

Substituindo \rho_{S}=12\times10^{-9}\,\mathrm{C/m^{2}}, a=0{,}04\,\mathrm{m}, r=0{,}06\,\mathrm{m} e \varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{C^{2}/(N\,m^{2})}, temos
E =\frac{12\times10^{-9}\times0{,}04}{8{,}85\times10^{-12}\times0{,}06}\,\mathrm{V/m} \approx9{,}05\times10^{2}\,\mathrm{V/m}.

Resposta

\displaystyle E=9{,}05\times10^{2}\,\mathrm{V/m} radialmente para fora do eixo do cilindro.

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