Seja um campo elétrico dado E=\frac{10 z}{\varepsilon_{0}} \mathbf{a}_{z} \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Calcule a carga elétrica total contida num cubo com 2 m de lado com o centro na origem.

Passo 1

O enunciado fornece o campo elétrico
E = \frac{10\,z}{\varepsilon_{0}}\;\mathbf{a}_{z}\quad\text{(V/m)}
e pede a carga total dentro de um cubo de lado 2 m centrado na origem.
Conteúdo necessário: usar a forma diferencial da Lei de Gauss,
\nabla\cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}},
para obter a densidade volumétrica de carga \rho e depois integrar sobre o volume do cubo.

Passo 2

Calcular a divergência de E. Como E só tem componente em z que depende de z,
\nabla\cdot E = \frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{10\,z}{\varepsilon_{0}}\Bigr) = \frac{10}{\varepsilon_{0}}.

Passo 3

Obter a densidade volumétrica de carga \rho usando
\rho = \varepsilon_{0}\,\nabla\cdot E = \varepsilon_{0}\,\frac{10}{\varepsilon_{0}} = 10\quad\text{(C/m}^3\text{)}.

Passo 4

Integrar \rho no volume do cubo. Como \rho é constante e o cubo tem lado 2 m, o volume vale
V = 2^3 = 8\quad\text{m}^3.
Logo, a carga total é
Q = \int_{\text{cubo}}\rho\,dV = \rho\,V = 10 \times 8 = 80\quad\text{C}.

Resposta

A carga elétrica total contida no cubo é 80 C.

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