Uma linha de carga no espaço livre está posicionada ao longo do eixo z e tem uma densidade linear de carga uniforme igual a \rho_{L}=1 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}. Determine o campo vetorial intensidade de campo elétrico no ponto P(2,2,1), supondo que a linha de carga seja finita e esteja compreendida em -6 \leq z \leq 6.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma linha de carga de densidade linear \rho_{L}=1\,\mu\mathrm{C/m} estendida sobre o eixo z de z=-6 até z=6. Queremos o campo elétrico no ponto P(2,2,1). Usaremos a Lei de Coulomb no formato diferencial para uma distribuição contínua:
\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\mathrm{d}q\,(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}{\|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\|^3}.

Passo 2

Parametrizamos a linha de carga por z'\in[-6,6], de modo que \mathrm{d}q=\rho_{L}\,\mathrm{d}z' e cada elemento de carga está em \mathbf{r}'=(0,0,z'). O ponto de observação é \mathbf{r}=(2,2,1), logo o vetor de campo de um elemento é
\mathrm{d}\mathbf{E} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\rho_{L}\,\frac{(2,2,1-z')}{\bigl(2^2+2^2+(1-z')^2\bigr)^{3/2}}\,\mathrm{d}z'.

Passo 3

Pela simetria de rotação em torno do eixo z, as componentes x e y são iguais E_x=E_y. Assim
E_x = \frac{\rho_{L}}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-6}^{6}\frac{2}{\bigl(8+(1-z')^2\bigr)^{3/2}}\,\mathrm{d}z', \quad E_z = \frac{\rho_{L}}{4\pi\varepsilon_0}\int_{-6}^{6}\frac{1-z'}{\bigl(8+(1-z')^2\bigr)^{3/2}}\,\mathrm{d}z'.

Passo 4

Para as integrais, fazemos a substituição u=1-z', de modo que \mathrm{d}z'=-\mathrm{d}u. Os limites vão de u( z'=-6)=7 a u(z'=6)=-5.
Para E_x surge
\int_{-6}^{6}\frac{2\,\mathrm{d}z'}{(8+(1-z')^2)^{3/2}} =2\int_{7}^{-5}\frac{-\mathrm{d}u}{(8+u^2)^{3/2}} =\int_{-5}^{7}\frac{2\,\mathrm{d}u}{(8+u^2)^{3/2}}.
Usando a antiderivada
\int\frac{\mathrm{d}u}{(a^2+u^2)^{3/2}} =\frac{u}{a^2\sqrt{a^2+u^2}},
com a^2=8, obtemos
E_x=\frac{\rho_{L}}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl[\frac{7}{4\sqrt{57}}+\frac{5}{4\sqrt{33}}\Bigr].
Para E_z temos
\int_{-6}^{6}\frac{1-z'}{(8+(1-z')^2)^{3/2}}\,\mathrm{d}z' =\int_{-5}^{7}\frac{u\,\mathrm{d}u}{(8+u^2)^{3/2}}
e a antiderivada
\int\frac{u\,\mathrm{d}u}{(a^2+u^2)^{3/2}} =-\frac{1}{\sqrt{a^2+u^2}}
leva a
E_z=\frac{\rho_{L}}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl[\frac{1}{\sqrt{33}}-\frac{1}{\sqrt{57}}\Bigr].

Passo 5

Agora substituímos \rho_{L}=1\times10^{-6}\,\mathrm{C/m} e 1/(4\pi\varepsilon_0)=8{,}9876\times10^9, \mathrm{N\cdot m^2/C^2}:
E_x=E_y \approx 8{,}9876\times10^3\Bigl(\frac{7}{4\sqrt{57}}+\frac{5}{4\sqrt{33}}\Bigr)\approx 4{,}04\times10^3\;\mathrm{N/C},
E_z\approx 8{,}9876\times10^3\Bigl(\frac{1}{\sqrt{33}}-\frac{1}{\sqrt{57}}\Bigr)\approx 3{,}74\times10^2\;\mathrm{N/C}.

Resposta

\mathbf{E}(2,2,1)\approx (4{,}04\times10^3)\,\hat\imath + (4{,}04\times10^3)\,\hat\jmath + (3{,}74\times10^2)\,\hat k\quad\mathrm{N/C}.

Exercícios relacionados