Se
a densidade superficial de massa no ponto
de uma superfície
, então o momento de inércia
de
em relação ao eixo é definida por
onde o momento de massa
e
é a distância do ponto
ao eixo. Além disso o centro de massa
é definido por
com
a massa total de
. Com estas informações, determine:
O momento de inércia e o centro de massa da superfície homogênea, de massa
, de equação
, com
, em torno do eixo
.
e
onde
.
O momento de inércia e o centro de massa da superfície homogênea, de massa
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia
em torno do eixo
e o centro de massa
de uma superfície lateral de cilindro de raio
e altura
, com densidade superficial constante
. Vamos usar integrais de superfície para massa, comprimento e momento de inércia.
Passo 2
Calcular a massa total
. A elementar de área na casca cilíndrica é
Logo
Dessa forma
Passo 3
Por simetria em
e
, o centro de massa satisfaz
Passo 4
Calcular
. Usa-se
Passo 5
Calcular o momento de inércia em torno do eixo
: