Se f(x, y, z) a densidade superficial de massa no ponto (x, y, z) de uma superfície S, então o momento de inércia I de S em relação ao eixo é definida por
I=integral duplaS r^2 d m
onde o momento de massa d m=f(x, y, z) d S e r=r(x, y, z) é a distância do ponto (x, y, z) ao eixo. Além disso o centro de massa xc, yc, zc é definido por
xc=integral duplaS x f(x, y, z) d SM, yc=integral duplaS y f(x, y, z) d SM, zc=integral duplaS z f(x, y, z) d SM
com M a massa total de S. Com estas informações, determine:
O momento de inércia e o centro de massa da superfície homogênea, de massa M, de equação x^2+y^2=r^2 (r>0), com 0 <= z <= 1, em torno do eixo z. I=2 rho0 pi3, xc=0, yc=0 e zc=rho0 piM onde f(x, y, z)=rho0.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia I em torno do eixo z e o centro de massa (xc,yc,zc) de uma superfície lateral de cilindro de raio r e altura 1, com densidade superficial constante f(x,y,z)=rho0. Vamos usar integrais de superfície para massa, comprimento e momento de inércia.

Passo 2

Calcular a massa total M. A elementar de área na casca cilíndrica é
dS = (circunferência)times d z = (2pi r),dz ê
Logo
M=integral duplaSrho0,dS =rho0integral0^12pi r,dz =rho0,2pi r
Dessa forma
rho0=M2pi r

Passo 3

Por simetria em x e y, o centro de massa satisfaz
xc=0, yc=0

Passo 4

Calcular zc. Usa-se
zc =1Mintegral duplaSz,rho0,dS =rho0Mintegral0^1z,(2pi r),dz =rho0,2pi rM,12 =12

Passo 5

Calcular o momento de inércia em torno do eixo z:
I=integral duplaSr^2,dm =integral duplaSr^2,rho0,dS =r^2,rho0integral0^12pi r,dz =r^2,(rho0,2pi r) =r^2,M

Resposta

I = M,r^2, xc=0, yc=0, zc=tfrac12

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