Se f(x, y, z) a densidade superficial de massa no ponto (x, y, z) de uma superfície S, então o momento de inércia I de S em relação ao eixo é definida por
I=integral duplaS r^2 d m
onde o momento de massa d m=f(x, y, z) d S e r=r(x, y, z) é a distância do ponto (x, y, z) ao eixo. Além disso o centro de massa xc, yc, zc é definido por
xc=integral duplaS x f(x, y, z) d SM, yc=integral duplaS y f(x, y, z) d SM, zc=integral duplaS z f(x, y, z) d SM
com M a massa total de S. Com estas informações, determine:
O momento de inércia de S, onde S é a parte da superfície cônica z^2=x^2+y^2 compreendida entre os planos z=1 e z=2.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia
I=integral duplaSr^2,dm
da superfície Scolon z^2=x^2+y^2 limitada pelos planos z=1 e z=2. Aqui dm=f(x,y,z),dS é a massa elementar, r a distância ao eixo z. Vamos assumir densidade superficial uniforme f(x,y,z)=de<a e usar parametrização cilíndrica para S.

Passo 2

Parametrizamos S por
r(z,theta)=(x,y,z)=(zcostheta,;zsintheta,;z),
com thetain[0,2pi] e zin[1,2].

Passo 3

Calculamos o elemento de área dS. As derivadas são
rz=(costheta,;sintheta,;1), rtheta=(-zsintheta,;zcostheta,;0),
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llVertrztimesrthetarrVert =raiz2,z,
e
dS=raiz2,z,dz,dtheta

Passo 4

A distância ao eixo z é
r^2=x^2+y^2=z^2
Assim o integrando fica
r^2,dm =z^2,l(de<a,dSr) =de<a,z^2,(raiz2,z,dz,dtheta) =de<a,raiz2,z^3,dz,dtheta

Passo 5

Integramos em theta e z:
I =integral0^2pi!integral1^2de<a,raiz2,z^3,dz,dtheta =2pi,de<a,raiz2integral1^2z^3dz =2pi,de<a,raiz2l[z^44r]1^2 =2pi,de<a,raiz2cdot154

Resposta

I=15raiz2,pi,de<a2
Para densidade unitária de<a=1,
I=15raiz2,pi2

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