Exercício 2. Demonstre que a soma da série telescópica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}
converge para o valor 1 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
sumn=1^infty1n(n+1)
converge para 1. O conteúdo envolve séries numéricas e, em particular, séries telescópicas. Para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais e, em seguida, calcular a soma parcial e seu limite.

Passo 2

Começamos decompondo cada termo em frações parciais. Para n>=1,
1n(n+1)=An+Bn+1
Multiplicando por n(n+1) e identificando coeficientes, obtemos
1 = A(n+1)+Bn = (A+B)n + A,
logo A+B=0 e A=1. Assim
1n(n+1) = 1n-1n+1

Passo 3

Definimos a soma parcial até N:
SN = sumn=1^N(1n-1n+1)
Ao escrever os primeiros termos, vemos o “efeito telescópio”:
SN = l(1-tfrac12r) + l(tfrac12-tfrac13r) + cdots + l(tfrac1N-tfrac1N+1r)
Todos os termos intermediários cancelam, sobrando
SN = 1 - 1N+1

Passo 4

Para concluir, calculamos o limite das somas parciais quando Ntoinfty:
limNtoinftySN = limNtoinftyl(1 - tfrac1N+1r) = 1 - 0 = 1

Resposta

A série converge para 1.

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