Exercício 2. Demonstre que a soma da série telescópica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}
converge para o valor 1 .
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}
converge para o valor 1 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
converge para
. O conteúdo envolve séries numéricas e, em particular, séries telescópicas. Para resolver, vamos usar decomposição em frações parciais e, em seguida, calcular a soma parcial e seu limite.
Passo 2
Começamos decompondo cada termo em frações parciais. Para
,
Multiplicando por
e identificando coeficientes, obtemos
logo
e
. Assim
Passo 3
Definimos a soma parcial até
:
Ao escrever os primeiros termos, vemos o “efeito telescópio”:
Todos os termos intermediários cancelam, sobrando
Passo 4
Para concluir, calculamos o limite das somas parciais quando
:
Resposta
A série converge para
.