Uma densidade volumétrica de carga é dada por
\rho_{v}(r)= \begin{cases}\frac{A}{r} & \text { para } 0<r \leq b \\\\ 0 & \text { nos outros lugares }\end{cases}
Considerando o meio com \varepsilon_{0}, determine:
a) A carga total dentro de uma superficie esférica de raio b
b) O fluxo de campo elétrico na superficie esférica de raio b.

Passo 1

O enunciado fornece a densidade volumétrica de carga e pede duas coisas. Aqui estão, bem organizadas, as informações dadas e o que é pedido.
  • Dado: a densidade volumétrica de carga é
\rho_{v}(r)= \begin{cases}\dfrac{A}{r} & \text{para } 0<r\le b,\\[6pt] 0 & \text{nos outros lugares,}\end{cases}
onde A é uma constante e b é um raio fixo. O meio tem permissividade \varepsilon_{0}.
  • Pedido (duas partes):
    (a) Determinar a carga total dentro de uma superfície esférica de raio b (ou seja, a carga contida em 0<r\le b).
    (b) Determinar o fluxo do campo elétrico através da superfície esférica de raio b.]

Passo 2

Entendendo como calcular a carga total a partir da densidade volumétrica: a carga contida em um elemento de volume é dQ=\rho_{v}(r)\,dV. Para uma distribuição esfericamente simétrica é conveniente usar “camadas esféricas” finas de espessura dr.
  • Área de uma esfera de raio r é 4\pi r^{2}.
  • Volume de uma casca esférica de espessura dr é dV = \text{(área)}\times dr = 4\pi r^{2}\,drá.
Aqui: r é a distância ao centro; dr é uma variação radial infinitesimal; dV tem unidades de volume.

Passo 3

Montar e calcular a integral que dá a carga total contida em 0<r\le b.
  • Escrevendo dQ=\rho_{v}(r)\,dV e substituindo \rho_{v}(r)=\dfrac{A}{r} e dV=4\pi r^{2}\,dr, obtemos
dQ=\frac{A}{r}\cdot 4\pi r^{2}\,dr = 4\pi A\, r\,dr.
  • A carga total é a integral de dQ de r=0 até r=b:
Q_{\text{total}}=\int_{0}^{b} dQ = \int_{0}^{b} 4\pi A\, r\,dr.
  • Calcule a integral (mostrando cada etapa):
Q_{\text{total}} = 4\pi A \int_{0}^{b} r\,dr = 4\pi A \left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{b} = 4\pi A \cdot \frac{b^{2}}{2} = 2\pi A b^{2}.
Observação didática: embora \rho_{v}(r) tenha singularidade em r=0 (parece divergir), o integrando final é 4\pi A r, que tende a zero quando r\to0, logo a singularidade é integrável e a carga total é finita.

Passo 4

Calcular o fluxo do campo elétrico usando o Teorema de Gauss (explicação e aplicação).
  • Enunciado do Teorema de Gauss (forma integral): o fluxo elétrico total \Phi através de uma superfície fechada é igual à carga total envolvida por essa superfície dividida por \varepsilon_{0}:
\Phi = \oint_{\text{superfície}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}},í
onde Q_{\text{enc}} é a carga total dentro da superfície e \varepsilon_{0} é a permissividade do meio (aqui fornecida).
  • Aplicando ao nosso caso: a superfície é a esfera de raio b e a carga envolvida é Q_{\text{total}}=2\pi A b^{2}. Portanto
\Phi = \frac{Q_{\text{total}}}{\varepsilon_{0}} = \frac{2\pi A b^{2}}{\varepsilon_{0}}.
Passo adicional (intuitivo): por simetria esférica o campo elétrico na superfície é radial e uniforme em módulo; se quiser, pode-se obter o valor de \mathbf{E} na superfície a partir de \Phi = E(b)\cdot 4\pi b^{2}, levando a
E(b)=\frac{\Phi}{4\pi b^{2}}=\frac{2\pi A b^{2}}{4\pi \varepsilon_{0} b^{2}}=\frac{A}{2\varepsilon_{0}}.
Isto confirma a consistência do resultado de fluxo.

Resposta

(a) Q_{\text{total}} = 2\pi A b^{2}
(b) \Phi = \dfrac{2\pi A b^{2}}{\varepsilon_{0}}

Exercícios relacionados