Duas forças agem sobre um caixa de 2,00 \mathrm{~kg} que está apoiada sobre um superfície muito lisa. Adotando um sistema de referências como o plano xy, tem-se \vec{F}_{1}=20,0 N \hat{x} e |\vec{a}|=12,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, formando um ângulo de \theta=240. Calcule as componentes de \vec{F}_{2} em coordenadas cartesianas e coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (listar o que foi dado e o que se pede):
  • Massa da caixa: m=2{,}00\\ \mathrm{kg}.
  • Uma força conhecida: \vec{F}_{1}=20{,}0\\ \mathrm{N}\,\hat{x}.
  • A aceleração resultante tem módulo |\vec{a}|=12{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}} e direção \theta=240^\circ (ângulo medido a partir do eixo positivo x, no sentido anti-horário).
  • A superfície é muito lisa (atrito desprezível).
O enunciado pede:
  • Calcular as componentes cartesianas de \vec{F}_{2} (isto é, F_{2x} e F_{2y}).
  • Calcular \vec{F}_{2} em coordenadas polares (módulo e direção).

Passo 2

Princípio físico e equação vetorial (o que usamos): pela segunda lei de Newton, a soma vetorial das forças é igual à massa vezes a aceleração resultante. Em fórmula:
\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}=m\vec{a}.
Isolando \vec{F}_{2}:
\vec{F}_{2}=m\vec{a}-\vec{F}_{1}.
Logo, para encontrar \vec{F}_{2} precisamos das componentes de m\vec{a} e das componentes de \vec{F}_{1}.

Passo 3

Como obter as componentes da aceleração: se |\vec{a}| e \theta são conhecidos, as componentes cartesianas são dadas por
a_x=|\vec{a}|\cos\theta,\qquad a_y=|\vec{a}|\sin\theta.
Aqui \theta=240^\circ. Usamos identidades trigonométricas para ângulos no terceiro quadrante (entre 180^\circ e 270^\circ):
\cos(240^\circ)=\cos(180^\circ+60^\circ)=-\cos(60^\circ)=-\tfrac{1}{2},
\sin(240^\circ)=\sin(180^\circ+60^\circ)=-\sin(60^\circ)=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto:
a_x=12{,}0\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-6{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}},
a_y=12{,}0\cdot\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-6\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx -10{,}3923\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

Agora calculemos m\vec{a} (as componentes da força resultante m\vec{a}):
(m\vec{a})_x=m a_x=2{,}00\cdot(-6{,}0)=-12{,}0\\ \mathrm{N},
(m\vec{a})_y=m a_y=2{,}00\cdot(-6\sqrt{3})=-12\sqrt{3}\\ \mathrm{N}\approx -20{,}7846\\ \mathrm{N}.
As componentes de \vec{F}_{1} são \vec{F}_{1}=(20{,}0\\ \mathrm{N},\\\ 0).
Usando \vec{F}_{2}=m\vec{a}-\vec{F}_{1}, subtraímos componente a componente:
F_{2x}=(m a_x)-F_{1x}=-12{,}0-20{,}0=-32{,}0\\ \mathrm{N},
F_{2y}=(m a_y)-F_{1y}=-12\sqrt{3}-0=-12\sqrt{3}\\ \mathrm{N}\approx -20{,}8\\ \mathrm{N}.
(Para apresentar com três algarismos significativos: F_{2x}=-32{,}0\\ \mathrm{N} e F_{2y}\approx-20{,}8\\ \mathrm{N}.)

Passo 5

Passagem para coordenadas polares (módulo e direção). Dados F_{2x} e F_{2y}, o módulo é
|\vec{F}_{2}|=\sqrt{F_{2x}^{2}+F_{2y}^{2}}.
Aqui, usando valores exatos/numéricos:
F_{2x}^{2}=(-32{,}0)^{2}=1024,
F_{2y}^{2}=(-12\sqrt{3})^{2}=144\cdot 3=432.
Logo
|\vec{F}_{2}|=\sqrt{1024+432}=\sqrt{1456}=4\sqrt{91}\approx 38{,}16\\ \mathrm{N}.
Arredondando para três algarismos significativos: 38{,}2\\ \mathrm{N}.
Para a direção (ângulo \varphi medido a partir do eixo positivo x, sentido anti-horário), usamos a função arco-tangente levando em conta a quadrante (usamos a versão prática \varphi=\operatorname{atan2}(F_{2y},F_{2x})). Em termos de cálculo manual:
  • |F_{2x}|=32{,}0, |F_{2y}|\approx20{,}7846. A razão em valor absoluto é \dfrac{|F_{2y}|}{|F_{2x}|}\approx0{,}649519.
  • \arctan(0{,}649519)\approx33{,}03^\circ.
Como F_{2x}<0 e F_{2y}<0 (ambos negativos), o vetor está no terceiro quadrante; portanto
\varphi=180^\circ+33{,}03^\circ\approx213{,}03^\circ.
Arredondando para três algarismos significativos: \varphi\approx213^\circ.

Resposta

\vec{F}_{2}=-32{,}0\\ \mathrm{N}\,\hat{x}-20{,}8\\ \mathrm{N}\,\hat{y}
|\vec{F}_{2}|=38{,}2\\ \mathrm{N},\quad \theta_{2}=213^\circ

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