A densidade volumétrica de carga é definida, em coordenadas cilíndricas, para a região
, como sendo
, e
para todo o espaço restante. Determine: (a)
máximo;
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a densidade volumétrica de carga, em coordenadas cilíndricas, vale
no “tubo” definido por
e zero fora.
Conteúdo: maximizar uma função de três variáveis numa região fechada. A gente vai usar noções de função contínua em domínio compacto (máximo existe) e analisar as “peças” do produto para achar onde ele fica máximo.
Conteúdo: maximizar uma função de três variáveis numa região fechada. A gente vai usar noções de função contínua em domínio compacto (máximo existe) e analisar as “peças” do produto para achar onde ele fica máximo.
Passo 2
Primeiro, observe que
onde
Como a região é fechada e a função contínua, o valor máximo ocorre em ponto de bordo ou num ponto crítico interno. Mas aqui cada fator depende de só UMA variável, então podemos maximizar cada pedacinho separadamente:
- maximiza
no intervalo , - maximiza
em , - maximiza
em .
Passo 3
Analisando cada fator:
-
. É uma parábola crescente pra . Então o maior valor em é em : -
. No intervalo , o seno atinge valor máximo 1 quando , ou seja . -
é crescente, então o máximo em é .
Passo 4
Agora junta tudo: