A densidade volumétrica de carga é definida, em coordenadas cilíndricas, para a região 0,005 <= rho <= 0,02,0 <= phi <= pi / 2,0 <= z <= 0,04, como sendo rhov=(rho^2-10^-4) z sen 2 phi C / m^3, e rhov=0 para todo o espaço restante. Determine: (a) rhov máximo;

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a densidade volumétrica de carga, em coordenadas cilíndricas, vale
rhov(rho,phi,z);=;l(rho^2-10^-4r);z;sin(2phi)
no “tubo” definido por
0,005 <= rho <= 0,02, 0<= phi<= tfracpi2, 0<= z<= 0,04
e zero fora.
Conteúdo: maximizar uma função de três variáveis numa região fechada. A gente vai usar noções de função contínua em domínio compacto (máximo existe) e analisar as “peças” do produto para achar onde ele fica máximo.

Passo 2

Primeiro, observe que
rhov(rho,phi,z);=;f(rho);g(phi);h(z),
onde
f(rho)=rho^2-10^-4, g(phi)=sin(2phi), h(z)=z
Como a região é fechada e a função contínua, o valor máximo ocorre em ponto de bordo ou num ponto crítico interno. Mas aqui cada fator depende de só UMA variável, então podemos maximizar cada pedacinho separadamente:
  1. maximiza no intervalo ,
  2. maximiza em ,
  3. maximiza em .

Passo 3

Analisando cada fator:
  1. fmax= (0,02)^2-10^-4=4times10^-4-10^-4=3times10^-4 . É uma parábola crescente pra . Então o maior valor em é em :
  2. . No intervalo , o seno atinge valor máximo 1 quando , ou seja .
  3. é crescente, então o máximo em é .

Passo 4

Agora junta tudo:
rhovl(rho=0,02,;phi=tfracpi4,;z=0,04r) = fmax;gmax;hmax = l(3times10^-4r)times1times0,04 =1,2times10^-5;C/m^3

Resposta

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