A densidade volumétrica de carga é definida, em coordenadas cilíndricas, para a região , como sendo , e para todo o espaço restante. Determine: (b) a carga total em todo o espaço.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente achar a carga total espalhada por todo o espaço, mas a densidade volumétrica de carga só existe numa região cilíndrica dada por
e vale
Fora isso .
Conteúdo: cálculo de integrais triplas em coordenadas cilíndricas.
O que precisamos:
Montar usando o Jacobiano .
Fazer a integral em , depois em e, por fim, em .
Passo 2
Escrevendo o integral em cilíndricas:
Repare que juntamos (rho^2-10^-4),z,sin(2phi),rho = l(rho^3 - 10^-4rhor),z,sin(2phi) com o Jacobiano , resultando no integrando
Passo 3
Integramos primeiro em integral0^0,04!(rho^3-10^-4rho),z,sin(2phi);dz =(rho^3-10^-4rho),sin(2phi), integral0^0.04!z,dz de integral0^0.04!z,dz = z^22|0^0.04 = (0.04)^22 = 0.00162 = 0.0008 a Q = integral0.005^0.02!integral0^pi/2 (rho^3-10^-4rho),sin(2phi);0.0008; dphi,drho .
Como e são constantes em relação a , temos
e
Então o integral vira
Passo 4
Agora a gente integra em integral0^pi/2sin(2phi);dphi = l[-tfrac12cos(2phi)r]0^pi/2 = -tfrac12l(cospi - cos0r) = -tfrac12(-1 - 1) = 1 de Q = 0.0008 integral0.005^0.02 l(rho^3 - 10^-4rhor),drho a :
Logo some e sobra só o fator . Assim
Passo 5
Falta a integral em integral (rho^3 - 10^-4rho),drho = rho^44 - 10^-4,rho^22 = rho^44 - 10^-4,rho^22 :