A densidade volumétrica de carga é definida, em coordenadas cilíndricas, para a região 0,005 <= rho <= 0,02,0 <= phi <= pi / 2,0 <= z <= 0,04, como sendo rhov=(rho^2-10^-4) z sen 2 phi C / m^3, e rhov=0 para todo o espaço restante. Determine: (b) a carga total em todo o espaço.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente achar a carga total 0,005 <= rho <= 0,02, 0 <= phi <= tfracpi2, 0 <= z <= 0,04 espalhada por todo o espaço, mas a densidade volumétrica de carga só existe numa região cilíndrica dada por
rhov(rho,phi,z) =l(rho^2 - 10^-4r),z,sin(2phi)[C/m^3]
e vale
Fora isso .
Conteúdo: cálculo de integrais triplas em coordenadas cilíndricas.
O que precisamos:
  1. Montar usando o Jacobiano .
  2. Fazer a integral em , depois em e, por fim, em .

Passo 2

Escrevendo o integral em cilíndricas:
Q = integralrho=0,005^0,02!integralphi=0^pi/2!integralz=0^0,04 underbracel(rho^2-10^-4r),z,sin(2phi)rhov ;rho,dz,dphi,drho
Repare que juntamos (rho^2-10^-4),z,sin(2phi),rho = l(rho^3 - 10^-4rhor),z,sin(2phi) com o Jacobiano , resultando no integrando

Passo 3

Integramos primeiro em integral0^0,04!(rho^3-10^-4rho),z,sin(2phi);dz =(rho^3-10^-4rho),sin(2phi), integral0^0.04!z,dz de integral0^0.04!z,dz = z^22|0^0.04 = (0.04)^22 = 0.00162 = 0.0008 a Q = integral0.005^0.02!integral0^pi/2 (rho^3-10^-4rho),sin(2phi);0.0008; dphi,drho .
Como e são constantes em relação a , temos
e
Então o integral vira

Passo 4

Agora a gente integra em integral0^pi/2sin(2phi);dphi = l[-tfrac12cos(2phi)r]0^pi/2 = -tfrac12l(cospi - cos0r) = -tfrac12(-1 - 1) = 1 de Q = 0.0008 integral0.005^0.02 l(rho^3 - 10^-4rhor),drho a :
Logo some e sobra só o fator . Assim

Passo 5

Falta a integral em integral (rho^3 - 10^-4rho),drho = rho^44 - 10^-4,rho^22 = rho^44 - 10^-4,rho^22 :
l[cdotsr]0.005^0.02 =2times10^-8 - (-1.09375times10^-9) =2.109375times10^-8
Avaliando de Q = 0.0008 times 2.109375times10^-8 =1.6875times10^-11,C até :
  1. Em :
    ,
    ,
    diferença =
  2. Em :
    ,
    ,
    diferença = .
    Subtraindo:
Multiplica pelo :

Resposta

A carga total em todo o espaço é
boxedQ = 1,6875times10^-11 Capprox1,69times10^-11 C

Exercícios relacionados