Seja um sistema de coordenadas esféricas e uma densidade volumétrica de carga variando linearmente com o raio,
(
e
constantes). Determine a carga contida: © na região
.
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente tem um sistema de coordenadas esféricas e uma densidade de carga que varia linearmente com o raio,
sendo
e
constantes. Queremos achar a carga total contida na região
Conteúdo da matéria: integração em coordenadas esféricas (volume elementar
) e aplicação de integrais triplas.
Passo 2
Escrevendo a carga total
como integral tripla:
Aqui a teoria usada é: em coordenadas esféricas, o volume elementar é
e a densidade depende só de
.
Passo 3
Separando a integral em partes (já que cada variável aparece isolada):
Primeiro, a integral em
:
Passo 4
Agora a integral em
:
Isso vem da antiderivada de
ser
.
Passo 5
E por fim a integral em
:
Juntando tudo: