Seja um sistema de coordenadas esféricas e uma densidade volumétrica de carga variando linearmente com o raio, rho=rho0 r / a ( rho0 e a constantes). Determine a carga contida: © na região r <= a, 0 <= theta <= pi, 0 <= phi <= 0,2 pi.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem um sistema de coordenadas esféricas e uma densidade de carga que varia linearmente com o raio,
rho(r) = rho0 ,ra,
sendo rho0 e a constantes. Queremos achar a carga total contida na região
0 <= r <= a, 0 <= theta <= pi, 0 <= phi <= 0,2pi
Conteúdo da matéria: integração em coordenadas esféricas (volume elementar dV = r^2sintheta,dr,dtheta,dphi) e aplicação de integrais triplas.

Passo 2

Escrevendo a carga total Q como integral tripla:
Q ;=; integral triplaregião rho(r),dV ;=;integralphi=0^0.2pi!integraltheta=0^pi!integralr=0^a gl(rho0 ragr),l(r^2sintheta,dr,dtheta,dphir) ã
Aqui a teoria usada é: em coordenadas esféricas, o volume elementar é dV = r^2sintheta,dr,dtheta,dphi e a densidade depende só de r.

Passo 3

Separando a integral em partes (já que cada variável aparece isolada):
Q = rho0a l[integral0^a rcdot r^2,drr] l[integral0^pisintheta,dthetar] l[integral0^0.2pidphir]
Primeiro, a integral em r:
integral0^a r^3,dr = a^44

Passo 4

Agora a integral em theta:
integral0^pisintheta,dtheta = l[-costhetar]0^pi = (-cospi)-(-cos0) = (-(-1)) - (-(1)) = 2
Isso vem da antiderivada de sintheta ser -costheta.

Passo 5

E por fim a integral em phi:
integral0^0.2pi dphi = 0.2pi
Juntando tudo:
Q = rho0a;l(tfraca^44r);(2);(0.2pi) = rho0,a^3;14cdot 2cdot 0.2pi = rho0,a^3;0.4pi4 = rho0,a^3;pi10

Resposta

boxedQ = pi10,rho0,a^3

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