A densidade volumétrica de cargas em um certa região do espaço está decrescendo a uma taxa de
. Calcule a corrente total que atravessa uma superfície esférica incremental de raio
.
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
Passo 1
Então, a gente tem um problema de eletromagnetismo onde a densidade volumétrica de cargas está diminuindo a uma certa taxa. A missão é calcular a corrente total que passa por uma superfície esférica com raio de
metros. Para resolver isso, vamos precisar entender como a variação da densidade de carga está relacionada com a corrente elétrica, usando a equação de continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação de continuidade, que relaciona a variação temporal da densidade de carga
com a divergência da densidade de corrente
:
Como a densidade de carga está mudando com o tempo, podemos rearranjar a equação para encontrar a divergência da corrente.
Passo 3
Dado que a densidade volumétrica de cargas está decrescendo a uma taxa de
, temos:
Substituindo na equação de continuidade:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a corrente total que atravessa a superfície esférica. A corrente total
é a integral da densidade de corrente
sobre a área
da superfície:
Como a situação é simétrica e a densidade de corrente é constante sobre a superfície esférica, podemos simplificar para:
onde
é a área da esfera.
Passo 5
Sabemos que
. Igualando à taxa de variação da densidade de carga:
Resolvendo para
:
Substituindo
m:
Passo 6
Agora, calculamos a corrente total:
Calculando
:
Arredondando para três casas decimais: