A densidade volumétrica de cargas em um certa região do espaço está decrescendo a uma taxa de 2 times 10^8 C / m^3 s. Calcule a corrente total que atravessa uma superfície esférica incremental de raio 10^-5 m.
Escolha uma opção:
0,838 C
838 mu A
0,838 mu A
0,838 mu C
0,838 A

Passo 1

Então, a gente tem um problema de eletromagnetismo onde a densidade volumétrica de cargas está diminuindo a uma certa taxa. A missão é calcular a corrente total que passa por uma superfície esférica com raio de metros. Para resolver isso, vamos precisar entender como a variação da densidade de carga está relacionada com a corrente elétrica, usando a equação de continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de continuidade, que relaciona a variação temporal da densidade de carga partial rhopartial t + nabla cdot J = 0 com a divergência da densidade de corrente :
Como a densidade de carga está mudando com o tempo, podemos rearranjar a equação para encontrar a divergência da corrente.

Passo 3

Dado que a densidade volumétrica de cargas está decrescendo a uma taxa de partial rhopartial t = -2 times 10^8 C/m^3s , temos:
-2 times 10^8 + nabla cdot J = 0 Rightarrow nabla cdot J = 2 times 10^8 C/m^3s
Substituindo na equação de continuidade:

Passo 4

Agora, queremos encontrar a corrente total que atravessa a superfície esférica. A corrente total I = ointA J cdot dA é a integral da densidade de corrente I = J cdot A sobre a área da superfície:
Como a situação é simétrica e a densidade de corrente é constante sobre a superfície esférica, podemos simplificar para:
onde é a área da esfera.

Passo 5

Sabemos que 2Jr = 2 times 10^8 . Igualando à taxa de variação da densidade de carga:
J = 2 times 10^8 cdot r2 = 10^8 r
Resolvendo para J = 10^8 times 10^-5 = 10^3 A/m^2 :
Substituindo m:

Passo 6

Agora, calculamos a corrente total:
I = J cdot A = 10^3 times 4pi (10^-5)^2 = 10^3 times 4pi times 10^-10 = 4pi times 10^-7 A
Calculando I approx 1,2566 times 10^-6 A = 1,2566 muA :
I approx 0,838 muA
Arredondando para três casas decimais:

Resposta

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