Uma partícula é lançada verticalmente a partir do nível do solo, com velocidade de 108 km / h. Considere desprezível a resistência do ar e que a aceleração da gravidade tem módulo de 9,80 m / s^2.
Determinar:
A) O tempo de subida.
B) A altura máxima atingida.
C) O tempo de descida e o de retorno ao nível de lançamento.
D) A velocidade ao retornar ao nível de lançamento.
E) O gráfico de altura em função do tempo durante todo o movimento.
F) O gráfico de velocidade em função do tempo durante todo o movimento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que é lançada para cima com uma velocidade inicial de 108 , km/h. Queremos descobrir várias coisas sobre o movimento dela, como quanto tempo ela demora para subir, qual a altura máxima que atinge, quanto tempo leva para descer, a velocidade quando retorna ao ponto de partida e os gráficos de altura e velocidade ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especialmente as equações do movimento uniformemente variado (MUV), já que a aceleração da gravidade está atuando.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade inicial de 108 , km/h para metros por segundo ( m/s), porque as outras unidades estão em metros e segundos. Sabemos que:
1 , km/h = 1000 , m3600 , s = 518 , m/s
Então,
108 , km/h = 108 times 518 = 30 , m/s
A velocidade inicial ( v0) é 30 , m/s.

Passo 3

A) Tempo de subida
Quando a partícula sobe, a única aceleração atuando é a da gravidade, que está para baixo ( a = -9,80 , m/s^2). No ponto mais alto, a velocidade final ( v) é 0. Podemos usar a equação:
v = v0 + a times t
Substituindo:
0 = 30 + (-9,80) times t
Resolvendo para t:
t = 309,80 approx 3,06 , segundos

Passo 4

B) Altura máxima atingida
Para encontrar a altura máxima ( h), podemos usar a equação:
h = v0 times t + 12 times a times t^2
Já temos t = 3,06 , s, então:
h = 30 times 3,06 + 12 times (-9,80) times (3,06)^2
h = 91,8 - 12 times 9,80 times 9,36
h = 91,8 - 45,8 approx 46,9 , metros

Passo 5

C) Tempo de descida e tempo de retorno ao nível de lançamento
Como a aceleração da gravidade é constante e desprezamos a resistência do ar, o tempo de descida será igual ao tempo de subida, que é 3,06 , s. Então, o tempo total de retorno ao ponto de lançamento será:
ttotal = tsubida + tdescida = 3,06 + 3,06 = 6,12 , s

Passo 6

D) Velocidade ao retornar ao nível de lançamento
Pelo princípio da conservação da energia ou pelas equações do MUV, sabemos que a velocidade ao retornar ao ponto de partida terá o mesmo módulo da velocidade inicial, mas na direção oposta. Então:
vretorno = -v0 = -30 , m/s
(O sinal negativo indica a direção para baixo.)

Passo 7

E) Gráfico de altura em função do tempo durante todo o movimento
Para desenhar o gráfico de altura ( h) em função do tempo ( t), usamos a equação:
h(t) = v0 times t + 12 times a times t^2
Sabemos que v0 = 30 , m/s, a = -9,80 , m/s^2, e o tempo total é 6,12 , s. O gráfico será uma parábola invertida, começando no ponto (0,0), atingindo a altura máxima em 3,06 , s e retornando ao solo em 6,12 , s.

Passo 8

F) Gráfico de velocidade em função do tempo durante todo o movimento
O gráfico da velocidade ( v) em função do tempo ( t) é uma reta, pois a aceleração é constante. Usamos a equação:
v(t) = v0 + a times t
Com v0 = 30 , m/s e a = -9,80 , m/s^2, o gráfico será uma linha reta que começa em 30 , m/s no tempo t = 0, intercepta o tempo quando v = 0 em t = 3,06 , s e continua até v = -30 , m/s em t = 6,12 , s.

Resposta

A) O tempo de subida é aproximadamente 3,06 , s.
B) A altura máxima atingida é aproximadamente 46,9 , metros.
C) O tempo de descida é 3,06 , s e o tempo total de retorno ao nível de lançamento é 6,12 , s.
D) A velocidade ao retornar ao nível de lançamento é -30 , m/s.
E) O gráfico de altura em função do tempo é uma parábola invertida que começa em (0,0), atinge o ponto mais alto em 3,06 , s e retorna ao solo em 6,12 , s.
F) O gráfico de velocidade em função do tempo é uma linha reta descendente que começa em 30 , m/s no tempo 0 , s, passa por 0 , m/s em 3,06 , s e chega a -30 , m/s em 6,12 , s.

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