Uma partícula é lançada verticalmente a partir do nível do solo, com velocidade de
. Considere desprezível a resistência do ar e que a aceleração da gravidade tem módulo de
.
Determinar:
A) O tempo de subida.
B) A altura máxima atingida.
C) O tempo de descida e o de retorno ao nível de lançamento.
D) A velocidade ao retornar ao nível de lançamento.
E) O gráfico de altura em função do tempo durante todo o movimento.
F) O gráfico de velocidade em função do tempo durante todo o movimento.
Determinar:
A) O tempo de subida.
B) A altura máxima atingida.
C) O tempo de descida e o de retorno ao nível de lançamento.
D) A velocidade ao retornar ao nível de lançamento.
E) O gráfico de altura em função do tempo durante todo o movimento.
F) O gráfico de velocidade em função do tempo durante todo o movimento.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que é lançada para cima com uma velocidade inicial de
. Queremos descobrir várias coisas sobre o movimento dela, como quanto tempo ela demora para subir, qual a altura máxima que atinge, quanto tempo leva para descer, a velocidade quando retorna ao ponto de partida e os gráficos de altura e velocidade ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de cinemática, especialmente as equações do movimento uniformemente variado (MUV), já que a aceleração da gravidade está atuando.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a velocidade inicial de
para metros por segundo (
), porque as outras unidades estão em metros e segundos. Sabemos que:
Então,
A velocidade inicial (
) é
.
Passo 3
A) Tempo de subida
Quando a partícula sobe, a única aceleração atuando é a da gravidade, que está para baixo (
). No ponto mais alto, a velocidade final (
) é 0. Podemos usar a equação:
Substituindo:
Resolvendo para
:
Passo 4
B) Altura máxima atingida
Para encontrar a altura máxima (
), podemos usar a equação:
Já temos
, então:
Passo 5
C) Tempo de descida e tempo de retorno ao nível de lançamento
Como a aceleração da gravidade é constante e desprezamos a resistência do ar, o tempo de descida será igual ao tempo de subida, que é
. Então, o tempo total de retorno ao ponto de lançamento será:
Passo 6
D) Velocidade ao retornar ao nível de lançamento
Pelo princípio da conservação da energia ou pelas equações do MUV, sabemos que a velocidade ao retornar ao ponto de partida terá o mesmo módulo da velocidade inicial, mas na direção oposta. Então:
(O sinal negativo indica a direção para baixo.)
Passo 7
E) Gráfico de altura em função do tempo durante todo o movimento
Para desenhar o gráfico de altura (
) em função do tempo (
), usamos a equação:
Sabemos que
,
, e o tempo total é
. O gráfico será uma parábola invertida, começando no ponto (0,0), atingindo a altura máxima em
e retornando ao solo em
.
Passo 8
F) Gráfico de velocidade em função do tempo durante todo o movimento
O gráfico da velocidade (
) em função do tempo (
) é uma reta, pois a aceleração é constante. Usamos a equação:
Com
e
, o gráfico será uma linha reta que começa em
no tempo
, intercepta o tempo quando
em
e continua até
em
.
Resposta
A) O tempo de subida é aproximadamente
.
B) A altura máxima atingida é aproximadamente
.
C) O tempo de descida é
e o tempo total de retorno ao nível de lançamento é
.
D) A velocidade ao retornar ao nível de lançamento é
.
E) O gráfico de altura em função do tempo é uma parábola invertida que começa em (0,0), atinge o ponto mais alto em
e retorna ao solo em
.
F) O gráfico de velocidade em função do tempo é uma linha reta descendente que começa em
no tempo
, passa por
em
e chega a
em
.