Uma linha de cargas com densidade linear de \rho_{L}=2 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m} está posicionada ao longo do eixo z. Determine o campo elétrico, em coordenadas cartesianas, no ponto P(1,2,3).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma linha de carga infinita ao longo do eixo z com densidade linear \rho_{L}=2\,\mu\mathrm{C/m}, e pede o campo elétrico no ponto P(1,2,3). O sistema tem simetria cilíndrica, então a teoria que vamos usar é a Lei de Gauss para uma carga distribuída uniformemente numa linha infinita: o campo é radial (no plano xy) e sua magnitude depende apenas da distância r ao eixo z.

Passo 2

Calculamos a distância radial r do ponto P ao eixo z. Como o eixo z é dado por x=y=0, temos
r = \sqrt{x^2 + y^2} =\sqrt{1^2 + 2^2} =\sqrt{5}\,\mathrm{m}.

Passo 3

O vetor unitário que aponta do eixo z até P (no plano xy) é
\hat{r} = \frac{\vec{r}}{r} = \frac{1\,\hat{\imath} + 2\,\hat{\jmath}}{\sqrt{5}}.

Passo 4

Pela Lei de Gauss para linha infinita, a magnitude do campo elétrico a uma distância r é
E = \frac{\rho_{L}}{2\pi \epsilon_{0}\,r}.

Passo 5

Substituindo \rho_{L}=2\times10^{-6}\,\mathrm{C/m}, \epsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{F/m} e r=\sqrt{5}:
E = \frac{2\times10^{-6}}{2\pi\,(8{,}85\times10^{-12})\,\sqrt{5}} \approx \frac{2\times10^{-6}}{2{,}78\times10^{-10}} \approx 7{,}2\times10^{3}\,\mathrm{N/C}.
Então o vetor campo é
\vec{E} = E\,\hat{r} = \bigl(7{,}2\times10^{3}\bigr)\frac{1\,\hat{\imath}+2\,\hat{\jmath}}{\sqrt{5}} = \frac{7{,}2\times10^{3}}{\sqrt{5}}\,(1\,\hat{\imath}+2\,\hat{\jmath}) \approx (3{,}2\times10^{3}\,\hat{\imath} + 6{,}4\times10^{3}\,\hat{\jmath})\,\mathrm{N/C}.

Resposta

\vec{E}(1,2,3) \approx 3{,}2\times10^{3}\,\hat{\imath} \;+\; 6{,}4\times10^{3}\,\hat{\jmath} \quad(\mathrm{N/C}).

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