Dentre as aplicações abaixo, verifique quais são transformações lineares:
(e) T: R^2 M(2,2), T(x, y)=(cc2 y & 3 x -y & x+2 y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
Tcolon R^2to M(2,2), T(x,y)=2y & 3x -y & x+2y
é uma transformação linear. Vamos usar a definição de linearidade, isto é, verificar aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificação da aditividade. Dados (x1,y1) e (x2,y2) em R^2, temos
Tl((x1,y1)+(x2,y2)r) =T(x1+x2,y1+y2) = 2(y1+y2) & 3(x1+x2) -(y1+y2) & (x1+x2)+2(y1+y2)
Por outro lado,
T(x1,y1)+T(x2,y2) =2y1&3x1-y1&x1+2y1 +2y2&3x2-y2&x2+2y2 = 2(y1+y2) & 3(x1+x2) -(y1+y2) & (x1+x2)+2(y1+y2)
Logo, T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Para alphainR e (x,y)inR^2,
Tl(alpha(x,y)r) =T(alpha x,alpha y) =2(alpha y)&3(alpha x)-(alpha y)&alpha x+2(alpha y) =alpha2y&3x-y&x+2y =alpha,T(x,y)
Portanto, T(alpha v)=alpha,T(v).

Resposta

A aplicação T é uma transformação linear.

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