Dentre os conjuntos de vetores a seguir, determine, com justificativas, quais são base de R^3.
(1,2,3),(1,1,2),(0,1,2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar se o conjunto de vetores (1,2,3),(1,1,2),(0,1,2) forma uma base para o espaço R^3. Para isso, vamos usar o conceito de independência linear e dimensão. Precisamos verificar se esses três vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço R^3.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os vetores serem linearmente independentes. Isso quer dizer que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em outras palavras, a única solução para a equação a(1,2,3) + b(1,1,2) + c(0,1,2) = (0,0,0) é a = b = c = 0.

Passo 3

Para verificar a independência linear, vamos montar um sistema de equações a partir das componentes dos vetores:
a + b + 0c = 0 2a + b + c = 0 3a + 2b + 2c = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema. Do primeiro equacionamento, temos:
a + b = 0 Rightarrow a = -b
Substituindo a = -b no segundo equação:
2(-b) + b + c = 0 Rightarrow -2b + b + c = 0 Rightarrow -b + c = 0 Rightarrow c = b

Passo 5

Agora, substituímos a = -b e c = b na terceira equação:
3(-b) + 2b + 2b = 0 Rightarrow -3b + 2b + 2b = 0 Rightarrow b = 0
Se b = 0, então a = -b = 0 e c = b = 0.

Passo 6

Como a única solução é a = b = c = 0, isso significa que os vetores são linearmente independentes.

Passo 7

Além disso, como temos três vetores em R^3 e eles são linearmente independentes, eles geram todo o espaço R^3. Portanto, o conjunto de vetores dado é uma base de R^3.

Resposta

Sim, o conjunto (1,2,3),(1,1,2),(0,1,2) é uma base de R^3 porque os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço.

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