Dentre os conjuntos de vetores a seguir, determine, com justificativas, quais são base de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinar se o conjunto de vetores forma uma base para o espaço . Para isso, vamos usar o conceito de independência linear e dimensão. Precisamos verificar se esses três vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa os vetores serem linearmente independentes. Isso quer dizer que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em outras palavras, a única solução para a equação é .
Passo 3
Para verificar a independência linear, vamos montar um sistema de equações a partir das componentes dos vetores:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema. Do primeiro equacionamento, temos:
a + b = 0 Rightarrow a = -b
Substituindo a = -b no segundo equação:
2(-b) + b + c = 0 Rightarrow -2b + b + c = 0 Rightarrow -b + c = 0 Rightarrow c = b
Passo 5
Agora, substituímos a = -b e c = b na terceira equação:
Como a única solução é a = b = c = 0, isso significa que os vetores são linearmente independentes.
Passo 7
Além disso, como temos três vetores em R^3 e eles são linearmente independentes, eles geram todo o espaço R^3. Portanto, o conjunto de vetores dado é uma base de R^3.
Resposta
Sim, o conjunto (1,2,3),(1,1,2),(0,1,2) é uma base de R^3 porque os vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço.