Dentre os conjuntos de vetores a seguir, determine, com justificativas, quais são base de R^3.
(1,2,3),(1,1,2),(0,1,1)

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de vetores
(1,2,3),(1,1,2),(0,1,1) em R^3 e pede para determinar se esse conjunto é uma base de R^3. Para isso, vamos verificar se os vetores são linearmente independentes (equivalente a checar se o determinante da matriz formada por eles é não nulo).

Passo 2

Formamos a matriz cujas linhas (ou colunas) são os vetores dados. Escolhendo como linhas:
A = 1 & 2 & 3 1 & 1 & 2 0 & 1 & 1
Calculamos o determinante de A:
det(A) =1cdotl(1cdot1 - 2cdot1r) -2cdotl(1cdot1 - 2cdot0r) +3cdotl(1cdot1 - 1cdot0r)

Passo 3

Agora simplificamos:
det(A) =1cdot(1-2) -2cdot(1-0) +3cdot(1-0) =1cdot(-1) -2cdot1 +3cdot1 =-1 -2 +3 =0
Como det(A)=0, os vetores são linearmente dependentes e, portanto, não formam base de R^3.

Resposta

O conjunto (1,2,3),(1,1,2),(0,1,1) não é base de R^3.

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