Determine a equação do plano que é paralelo aos vetores (1,2,3) e (-1,2,-3) e que passa pelo ponto (1,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de um plano que seja paralelo aos vetores (1,2,3) e (-1,2,-3), e que passe pelo ponto (1,1,1). Para isso, vamos usar conhecimentos de Geometria Analítica, especificamente sobre vetores e equações de planos. Vamos precisar descobrir um vetor normal ao plano e então usar esse vetor junto com o ponto dado para montar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, como o plano é paralelo aos vetores (1,2,3) e (-1,2,-3), esses vetores estão contidos no plano. Para encontrar um vetor normal ao plano, podemos calcular o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial nos dá um vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais.
Vamos calcular o produto vetorial n = v1 times v2, onde v1 = (1,2,3) e v2 = (-1,2,-3):
n = i & j & k 1 & 2 & 3 -1 & 2 & -3 = i(2 cdot (-3) - 3 cdot 2) - j(1 cdot (-3) - 3 cdot (-1)) + k(1 cdot 2 - 2 cdot (-1))
Calculando cada componente:
n = i(-6 - 6) - j(-3 + 3) + k(2 + 2) = i(-12) - j(0) + k(4)
Então, o vetor normal é n = (-12, 0, 4). Podemos simplificar dividindo por 4, ficando n = (-3, 0, 1).

Passo 3

Agora que temos o vetor normal n = (-3, 0, 1) e sabemos que o plano passa pelo ponto (1,1,1), podemos usar a equação geral do plano:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde (a, b, c) são as componentes do vetor normal e (x0, y0, z0) é o ponto dado.
Substituindo os valores:
-3(x - 1) + 0(y - 1) + 1(z - 1) = 0
Simplificando:
-3x + 3 + z - 1 = 0 implies -3x + z + 2 = 0
Podemos também escrever essa equação de forma tradicional:
-3x + z = -2

Resposta

A equação do plano é -3x + z = -2.

Exercícios relacionados