Dentre os conjuntos de vetores a seguir, determine, com justificativas, quais são base de R^3.
(2,3,5),(1,5,7),(2,4,8),(0,1,9)

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto de quatro vetores em R^3:
v1=(2,3,5),;v2=(1,5,7),;v3=(2,4,8),;v4=(0,1,9)
e pergunta quais desses conjuntos são base de R^3. O conteúdo aqui é teoria de dimensão, dependência linear e definição de base. Para resolver precisamos lembrar que uma base de R^3 deve ter exatamente três vetores linearmente independentes.

Passo 2

Definição de base em espaço vetorial de dimensão 3: um conjunto é base de R^3 se e somente se
  1. tem exatamente três vetores, e
  2. esses vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Teorema de dimensão: em R^3 qualquer conjunto com mais de três vetores é necessariamente linearmente dependente. Como nosso conjunto tem quatro vetores, ele não pode satisfazer a independência linear.

Passo 4

Conclusão: o conjunto fornecido é linearmente dependente (pois tem quatro vetores em um espaço de dimensão 3) e, portanto, não pode ser base de R^3.

Resposta

O conjunto (2,3,5),(1,5,7),(2,4,8),(0,1,9) não é base de R^3.

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