Encontre uma base ortogonal de R^3 contendo o vetor (2,1,3).

Passo 1

O enunciado pede uma base ortogonal de R^3 que contenha o vetor
v1 = (2,1,3)
Para isso, vamos completar v1 com dois vetores v2 e v3 tais que todos sejam mutuamente ortogonais. Faremos isso escolhendo primeiro um vetor não paralelo a v1 e impondo a condição de ortogonalidade, e depois usando produto vetorial para obter o terceiro vetor.

Passo 2

Procuramos um vetor v2=(a,b,c) que satisfaça
v1 cdot v2 = 2a + 1cdot b + 3c = 0
Para simplificar, tomamos a=1 e c=0. Daí
2cdot1 + b + 3cdot0 = 0 Longrightarrow b = -2
Logo podemos escolher
v2 = (1,-2,0),
que é não-nulo e satisfaz v1cdot v2=0.

Passo 3

O terceiro vetor v3 deve ser ortogonal a v1 e a v2. Uma forma direta é usar o produto vetorial:
v3 = v1 times v2
Calculando pelo determinante:
v3 = i & j & k 2 & 1 & 3 1 & -2 & 0 = i(1cdot0 - 3cdot(-2)) - j(2cdot0 - 3cdot1) + k(2cdot(-2) - 1cdot1)
Isso dá
v3 = (0+6,;0-(-3),;-4-1) = (6,3,-5)

Passo 4

Verificamos rapidamente a ortogonalidade:
v1cdot v3 = 2cdot6 + 1cdot3 + 3cdot(-5) = 12 + 3 -15 = 0,
v2cdot v3 = 1cdot6 + (-2)cdot3 + 0cdot(-5) = 6 -6 +0 = 0
Portanto v1,v2,v3 são mutuamente ortogonais e formam uma base de R^3.

Resposta

Uma possível base ortogonal é
(2,1,3),;(1,-2,0),;(6,3,-5)

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