Para quais valores do parâmetro k in R a seguinte família é uma base de R^4 ?
A=(l 1 0 0 k ),(l k 2 1 1 ),(c 0 -2 -1 -1 ),(l 2 2 k 3 )

Passo 1

O enunciado pede para quais valores de a família
com
é base de . Para isso basta verificar quando esses vetores são linearmente independentes, ou seja, quando o determinante da matriz cujas colunas são é diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz
M= 1 & k & 0 & 2 0 & 2 & -2 & 2 0 & 1 & -1 & k k & 1 & -1 & 3 ,
de modo que det Mneq0 garante que A é base.

Passo 3

Para simplificar o cálculo do determinante, fazemos a operação de linha
L4 ;long<=ftarrow; L4 - k,L1,
que substitui a quarta linha por
(k,,1,,-1,,3) - k,(1,,k,,0,,2) = l(0,;1-k^2,;-1,;3-2kr)
Essa operação não altera o valor de det M.

Passo 4

Após essa operação, expandimos det M pela primeira coluna (Laplace), já que só o elemento (1,1) é não nulo nessa coluna:
det M =1cdot 2 & -2 & 2[6pt] 1 & -1 & k[6pt] 1-k^2 & -1 & 3-2k ]

Passo 5

Chamando esse bloco de
B=2 & -2 & 2[3pt]1 & -1 & k[3pt]1-k^2 & -1 & 3-2k,
usamos a regra de Sarrus (ou expansão):
det B =2l((-1)(3-2k)-k(-1)r) -(-2)l(1cdot(3-2k)-k(1-k^2)r) +2l(1cdot(-1)-(-1)(1-k^2)r)
Calculando cada termo:
(-1)(3-2k)-k(-1)=-3+2k+k=-3+3k,
1cdot(3-2k)-k(1-k^2)=3-2k - (k-k^3)=3-3k+k^3,
1cdot(-1)-(-1)(1-k^2)=-1+1-k^2=-k^2
Logo
det B =2(-3+3k)+2(3-3k+k^3)-2k^2 =2k^2(k-1) ]

Passo 6

Portanto
det M = det B = 2,k^2,(k-1)
A família A é base de R^4 exatamente quando det Mneq0, ou seja,
k^2(k-1)neq0 Long<=ftrightarrow kneq0 e kneq1

Resposta

kinRsetminus0,,1.

Exercícios relacionados