Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada para:
Determinar o volume da região limitada abaixo pelo plano , lateralmente pelo cilindro e acima pelo paraboloide .
Passo 1
O enunciado pede o volume da região em limitada por o plano por baixo, o cilindro nas laterais, e o paraboloide por cima.
O conteúdo aqui é cálculo de volume por meio de integração tripla, e vamos precisar usar coordenadas cilíndricas para simplificar .
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas definimos
com jacobiano
pois cada elemento de área no plano xy vira um anel de raio r e espessura dr.
Passo 3
Os limites em cilíndricas são
0 <= theta <= 2pi, 0 <= r <= 1,
e, para cada (r,theta), z vai de 0 até o paraboloide z = r^2:
0 <= z <= r^2
Passo 4
O volume V é dado pela integral tripla
V = integral0^2pi!integral0^1!integral0^r^2 r ,dz,dr,dtheta
Passo 5
Integramos primeiro em z:
integral0^r^2 r ,dz = r,[,z,]0^r^2 = rcdot r^2 = r^3