Dentre as coordenadas cilíndricas ou esféricas, utilize a que lhe parecer mais apropriada para:
Determinar o volume da região limitada abaixo pelo plano z=0, lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=1 e acima pelo paraboloide z=x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região em R^3 limitada por
cdot o plano z=0 por baixo,
cdot o cilindro x^2+y^2=1 nas laterais,
cdot e o paraboloide z=x^2+y^2 por cima.
O conteúdo aqui é cálculo de volume por meio de integração tripla, e vamos precisar usar coordenadas cilíndricas para simplificar x^2+y^2.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
com jacobiano
l|det Jr| = r,
pois cada elemento de área no plano xy vira um anel de raio r e espessura dr.

Passo 3

Os limites em cilíndricas são
0 <= theta <= 2pi, 0 <= r <= 1,
e, para cada (r,theta), z vai de 0 até o paraboloide z = r^2:
0 <= z <= r^2

Passo 4

O volume V é dado pela integral tripla
V = integral0^2pi!integral0^1!integral0^r^2 r ,dz,dr,dtheta

Passo 5

Integramos primeiro em z:
integral0^r^2 r ,dz = r,[,z,]0^r^2 = rcdot r^2 = r^3

Passo 6

Fica então
V = integral0^2pi!integral0^1 r^3 ,dr,dtheta = l(integral0^2pidthetar),l(integral0^1r^3,drr) = (2pi),l[tfracr^44r]0^1 = 2picdottfrac14 = tfracpi2

Resposta

O volume da região é tfracpi2.

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