(2.0) Reescreva a integral integral0^4 integral0^4-x2 integral0^12-3 x-6 y4 d z d y d x na ordem d x d y d z.

Passo 1

O enunciado pede reescrever a integral integral0^4 integral0^4 - x2 integral0^12 - 3x - 6y4 dz,dy,dx na ordem dx,dy,dz. O conteúdo é troca de ordem de integração em integrais triplas e vamos precisar caracterizar o domínio de integração DsubsetR^3.

Passo 2

A partir da ordem original, o domínio D pode ser descrito por
0 <= x <= 4, 0 <= y <= 4 - x2, 0 <= z <= 12 - 3x - 6y4

Passo 3

Para eliminar os denominadores e obter desigualdades lineares, note que
0 <= z <= 12 - 3x - 6y4Long<=ftrightarrow 0 <= 4z <= 12 - 3x - 6yLong<=ftrightarrow 3x + 6y + 4z <= 12
Assim
0 <= x, 0 <= y, 0 <= z, 3x + 6y + 4z <= 12

Passo 4

Na ordem dx,dy,dz, fixam-se y e z. A desigualdade 3x + 6y + 4z <= 12
0 <= x <= 12 - 6y - 4z3 = 4 - 2y - 43z

Passo 5

Para que o limite superior de x seja não-negativo, precisamos de
4 - 2y - 43z >= 0 Longrightarrow y <= 2 - 23z
Com y>=0, isso fixa
0 <= y <= 2 - 23z

Passo 6

Para que y possa atingir esse valor, é necessário
2 - 23z >= 0 Longrightarrow 0 <= z <= 3
Logo, na ordem dx,dy,dz, o domínio é
0 <= z <= 3, 0 <= y <= 2 - 23z, 0 <= x <= 4 - 2y - 43z

Resposta

$$\n\int_{0}^{3} \int_{0}^{2 - \frac{2}{3}z} \int_{0}^{4 - 2y - \frac{4}{3}z} dx,dy,dz.
$$

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