Nos itens abaixo esboce a região de integração e calcule a integral dupla, mudando a ordem de integração caso seja necessário:
(1.0) \int_{0}^{2} \int_{\frac{y}{2}}^{1} e^{x^{2}} d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{y=0}^{2}\int_{x=\tfrac y2}^{1}e^{x^{2}}\;dx\,dy
sobre a região D\subset\mathbb{R}^{2} dada por
0\le y\le2,\quad \tfrac y2\le x\le1.
O conteúdo da matéria é troca de ordem de integração em integrais duplas, pois integrar e^{x^{2}} em x diretamente não tem primitiva elementar.

Passo 2

Vamos entender geometricamente D. As fronteiras são:
  1. y=0 (eixo x),
  2. y=2 (reta horizontal),
  3. x=\tfrac y2 ou y=2x,
  4. x=1 (reta vertical).
    Desenhando, vemos que para cada x entre 0 e 1, y varia de 0 até a reta y=2x. Logo em ordem dy\,dx temos
0\le x\le1,\quad 0\le y\le2x.

Passo 3

Reescrevendo a integral trocando a ordem:
\iint_{D}e^{x^{2}}\,dA =\int_{x=0}^{1}\Bigl(\int_{y=0}^{2x}e^{x^{2}}\,dy\Bigr)dx.
Como e^{x^{2}} não depende de y,
\int_{y=0}^{2x}e^{x^{2}}\,dy= \bigl[e^{x^{2}}\,y\bigr]_{0}^{2x} =2x\,e^{x^{2}}.
Logo
\int_{0}^{1}2x\,e^{x^{2}}\,dx.
Reconhecemos que \frac{d}{dx}(e^{x^{2}})=2x\,e^{x^{2}}, então
\int_{0}^{1}2x\,e^{x^{2}}\,dx =\bigl[e^{x^{2}}\bigr]_{0}^{1} =e^{1}-e^{0} =e-1.

Resposta

e-1.

Exercícios relacionados