1. (2.0) Reescreva a integral \int_{0}^{4} \int_{0}^{\frac{4-x}{2}} \int_{0}^{\frac{12-3 x-6 y}{4}} d z d y d x na ordem d x d y d z.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a integral
\int_{0}^{4}\int_{0}^{\frac{4-x}{2}}\int_{0}^{\frac{12-3x-6y}{4}}dz\,dy\,dx
na ordem dx\,dy\,dz. Para isso, vamos entender a região D dada por
0\le x\le4,\quad 0\le y\le\frac{4-x}{2},\quad 0\le z\le\frac{12-3x-6y}{4},
e determinar novos limites para x em função de y,z, depois os de y em função de z e finalmente os de z.

Passo 2

Traduzimos as desigualdades que definem D: x\ge0, y\ge0, z\ge0,
y\le\frac{4-x}{2}\quad\Longrightarrow\quad x\le4-2y,
z\le\frac{12-3x-6y}{4}\quad\Longrightarrow\quad 4z\le12-3x-6y\quad\Longrightarrow\quad 3x+6y\le12-4z.

Passo 3

Para projetar D no plano yz, exigimos que exista x\ge0 satisfazendo
x\le4-2y \quad\text{e}\quad x\le\frac{12-4z-6y}{3}.
Como sempre \tfrac{12-4z-6y}{3}\le4-2y (pois z\ge0), basta
\frac{12-4z-6y}{3}\ge0 \quad\Longrightarrow\quad 6y+4z\le12 \quad\Longrightarrow\quad 3y+2z\le6.
Além de y\ge0 e z\ge0, isso dá
0\le z\le3, \qquad 0\le y\le2-\frac{2}{3}z.

Passo 4

Para cada par (y,z) assim, x varia de
0\le x\le\min\bigl(4-2y,\;4-2y-\tfrac{4}{3}z\bigr).
Mas como 4-2y-\tfrac{4}{3}z\le4-2y, o limite superior é
x\le4-2y-\frac{4}{3}z.

Passo 5

Portanto, reescrevendo em ordem dx\,dy\,dz, a integral fica
\int_{z=0}^{3}\int_{y=0}^{2-\tfrac{2}{3}z}\int_{x=0}^{4-2y-\tfrac{4}{3}z}dx\,dy\,dz.

Resposta

\int_{0}^{3}\int_{0}^{2-\tfrac{2}{3}z}\int_{0}^{4-2y-\tfrac{4}{3}z}dx\,dy\,dz.

Exercícios relacionados