Dentre as funções (transformações) dadas, verificar quais delas são lineares.
f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, f(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=3 \mathrm{x}-2 \mathrm{y}+\mathrm{z}

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação
f\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R},\quad f(x,y,z)=3x-2y+z
e pede para verificar se f é linear. Para isso vamos usar a definição de transformação linear, que exige duas propriedades para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^3 e escalar \alpha\in\mathbb{R}:
  1. Aditividade: f(u+v)=f(u)+f(v).
  2. Homogeneidade: f(\alpha u)=\alpha\,f(u).

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja
u=(x_1,y_1,z_1), \quad v=(x_2,y_2,z_2).
Calculamos
f(u+v) = f\bigl(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2\bigr) =3(x_1+x_2)-2(y_1+y_2)+(z_1+z_2)
=3x_1-2y_1+z_1 \;+\;3x_2-2y_2+z_2 = f(x_1,y_1,z_1)+f(x_2,y_2,z_2) = f(u)+f(v).

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y,z). Então
f(\alpha u) = f(\alpha x,\alpha y,\alpha z) =3(\alpha x)-2(\alpha y)+(\alpha z)
=\alpha\bigl(3x-2y+z\bigr) =\alpha\,f(x,y,z) =\alpha\,f(u).

Passo 4

Como satisfazemos tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que f é uma transformação linear.

Resposta

A função f(x,y,z)=3x-2y+z é linear.

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