Dentre as funções (transformações) dadas, verificar quais delas são lineares.
f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, f(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{x}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
f\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},\quad f(x,y)=x
é uma transformação linear. Para isso, vamos usar as duas propriedades básicas de linearidade: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificação da aditividade. Sejam (x_1,y_1) e (x_2,y_2) dois vetores em \mathbb{R}^2. Então
f\bigl((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\bigr) =f\bigl(x_1+x_2,\;y_1+y_2\bigr) =x_1+x_2
e, por outro lado,
f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2) =x_1 + x_2.
Logo
f\bigl((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\bigr) =f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2),
o que mostra a aditividade.

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja \lambda\in\mathbb{R} e (x,y)\in\mathbb{R}^2. Então
f\bigl(\lambda\,(x,y)\bigr) =f\bigl(\lambda x,\;\lambda y\bigr) =\lambda x
e, por outro lado,
\lambda\,f(x,y) =\lambda\,x.
Logo
f\bigl(\lambda\,(x,y)\bigr) =\lambda\,f(x,y),
o que mostra a homogeneidade.

Resposta

A função f(x,y)=x é linear.

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