Informações importantes dadas (extraídas diretamente do enunciado):
C é uma matriz quadrada 4\times4.
C é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero).
Os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1.]
Passo 2
Provar que C é invertível.
Fato útil (explicado rapidamente): para qualquer matriz triangular (superior ou inferior), a determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Justificativa por indução simples: para 1\times1 é trivial; supondo o resultado para (n-1)\times(n-1), ao expandir a determinante de uma matriz triangular inferior pela primeira linha só sobra o termo a_{11} vezes a determinante do bloco inferior direito (que é triangular e, por hipótese, tem determinante igual ao produto de sua diagonal). Assim a determinante da matriz é a_{11} vezes esse produto, ou seja, o produto de toda a diagonal.
Aplicando ao nosso caso, como C é triangular inferior e os elementos da diagonal são todos 1, tem-se
\det\text{(C)}=1\cdot1\cdot1\cdot1=1.
Como \det\text{(C)}\neq0, concluímos que C é invertível.
Passo 3
Estratégia para obter C^{-1}.
Quando C é triangular e invertível, C^{-1} também é triangular do mesmo tipo (aqui, triangular inferior). A forma prática de calcular C^{-1} é resolver o sistema matricial
C X = I,
onde I é a identidade 4\times4; as colunas de X serão as colunas de C^{-1}. Como C é triangular inferior com 1's na diagonal, cada sistema para uma coluna pode ser resolvido por substituição direta (forward substitution), encontrando as incógnitas uma a uma de cima para baixo.
Escrevendo as equações de forma geral: para uma coluna fixa k (coluna de X), denotando x_{i} os componentes dessa coluna, as equações são, para i=1,\dots,4,
\sum_{j=1}^{i} c_{i,j}\,x_{j} = \delta_{i,k},
onde \delta_{i,k} é o delta de Kronecker (igual a 1 se i=k e 0 caso contrário). Como c_{i,i}=1, cada equação resolve x_i em função de x_1,\dots,x_{i-1} já conhecidos.
Agora vamos aplicar isso coluna a coluna.
Passo 4
Cálculo da coluna 1 de C^{-1} (resolver C x = e_1, onde e_1=(1,0,0,0)^T).
Para tranquilizar: pode-se verificar multiplicando C por C^{-1} que o produto é a identidade I_4; a estrutura triangular facilita a verificação pois cada linha/coluna envolve apenas alguns termos não nulos.]