Nos itens abaixo, mostre que a matriz dada é invertível e determine a sua inversa:
C=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 3 & 2 & 1 & 0 \\\\ 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Mostrar que a matriz C é invertível.
  • Determinar a matriz inversa C^{-1}.
A matriz dada é
C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 3 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Informações importantes dadas (extraídas diretamente do enunciado):
  • C é uma matriz quadrada 4\times4.
  • C é triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero).
  • Os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1.]

Passo 2

Provar que C é invertível.
Fato útil (explicado rapidamente): para qualquer matriz triangular (superior ou inferior), a determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. Justificativa por indução simples: para 1\times1 é trivial; supondo o resultado para (n-1)\times(n-1), ao expandir a determinante de uma matriz triangular inferior pela primeira linha só sobra o termo a_{11} vezes a determinante do bloco inferior direito (que é triangular e, por hipótese, tem determinante igual ao produto de sua diagonal). Assim a determinante da matriz é a_{11} vezes esse produto, ou seja, o produto de toda a diagonal.
Aplicando ao nosso caso, como C é triangular inferior e os elementos da diagonal são todos 1, tem-se
\det\text{(C)}=1\cdot1\cdot1\cdot1=1.
Como \det\text{(C)}\neq0, concluímos que C é invertível.

Passo 3

Estratégia para obter C^{-1}.
Quando C é triangular e invertível, C^{-1} também é triangular do mesmo tipo (aqui, triangular inferior). A forma prática de calcular C^{-1} é resolver o sistema matricial
C X = I,
onde I é a identidade 4\times4; as colunas de X serão as colunas de C^{-1}. Como C é triangular inferior com 1's na diagonal, cada sistema para uma coluna pode ser resolvido por substituição direta (forward substitution), encontrando as incógnitas uma a uma de cima para baixo.
Escrevendo as equações de forma geral: para uma coluna fixa k (coluna de X), denotando x_{i} os componentes dessa coluna, as equações são, para i=1,\dots,4,
\sum_{j=1}^{i} c_{i,j}\,x_{j} = \delta_{i,k},
onde \delta_{i,k} é o delta de Kronecker (igual a 1 se i=k e 0 caso contrário). Como c_{i,i}=1, cada equação resolve x_i em função de x_1,\dots,x_{i-1} já conhecidos.
Agora vamos aplicar isso coluna a coluna.

Passo 4

Cálculo da coluna 1 de C^{-1} (resolver C x = e_1, onde e_1=(1,0,0,0)^T).
Escrevendo linha a linha:
Para i=1:
1\cdot x_1 = 1 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 1.
Para i=2:
2\cdot x_1 + 1\cdot x_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2\cdot 1 + x_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_2 = -2.
Para i=3:
3\cdot x_1 + 2\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3\cdot 1 + 2\cdot(-2) + x_3 = 0,
3 - 4 + x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_3 = 1.
Para i=4:
4\cdot x_1 + 3\cdot x_2 + 2\cdot x_3 + 1\cdot x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad 4\cdot1 + 3\cdot(-2) + 2\cdot1 + x_4 = 0,
4 -6 +2 + x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_4 = 0.
Logo, a primeira coluna de C^{-1} é
\begin{pmatrix}1\\\\ -2\\\\ 1\\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 5

Cálculo da coluna 2 de C^{-1} (resolver C x = e_2, onde e_2=(0,1,0,0)^T).
Para i=1:
1\cdot x_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 0.
Para i=2:
2\cdot x_1 + 1\cdot x_2 = 1 \quad\Rightarrow\quad 0 + x_2 = 1 \quad\Rightarrow\quad x_2 = 1.
Para i=3:
3\cdot x_1 + 2\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad 0 + 2\cdot1 + x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_3 = -2.
Para i=4:
4\cdot x_1 + 3\cdot x_2 + 2\cdot x_3 + 1\cdot x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad 0 + 3\cdot1 + 2\cdot(-2) + x_4 = 0,
3 -4 + x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_4 = 1.
Portanto, a segunda coluna de C^{-1} é
\begin{pmatrix}0\\\\ 1\\\\ -2\\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 6

Cálculo da coluna 3 de C^{-1} (resolver C x = e_3, onde e_3=(0,0,1,0)^T).
Para i=1:
1\cdot x_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 0.
Para i=2:
2\cdot x_1 + 1\cdot x_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_2 = 0.
Para i=3:
3\cdot x_1 + 2\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = 1 \quad\Rightarrow\quad x_3 = 1.
Para i=4:
4\cdot x_1 + 3\cdot x_2 + 2\cdot x_3 + 1\cdot x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad 0 + 0 + 2\cdot1 + x_4 = 0,
2 + x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_4 = -2.
Assim, a terceira coluna é
\begin{pmatrix}0\\\\ 0\\\\ 1\\\\ -2\end{pmatrix}.

Passo 7

Cálculo da coluna 4 de C^{-1} (resolver C x = e_4, onde e_4=(0,0,0,1)^T).
Para i=1:
1\cdot x_1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 0.
Para i=2:
2\cdot x_1 + 1\cdot x_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_2 = 0.
Para i=3:
3\cdot x_1 + 2\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_3 = 0.
Para i=4:
4\cdot x_1 + 3\cdot x_2 + 2\cdot x_3 + 1\cdot x_4 = 1 \quad\Rightarrow\quad x_4 = 1.
Logo, a quarta coluna é
\begin{pmatrix}0\\\\ 0\\\\ 0\\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 8

Montando as colunas obtidas, a inversa C^{-1} é a matriz cujo colunas são as calculadas:
C^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
Para tranquilizar: pode-se verificar multiplicando C por C^{-1} que o produto é a identidade I_4; a estrutura triangular facilita a verificação pois cada linha/coluna envolve apenas alguns termos não nulos.]

Resposta

C^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}]

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