Dentre os números reais
5,3 & -2 & 10000000 &
&
\
0 &
& -8,75 &
& 125,666
indique quais são
irracionais.
0 &
irracionais.
Passo 1
O enunciado pede: dentre os números listados, indicar quais são irracionais. Os números dados são (usei a vírgula como separador decimal, padrão em português):
- Primeira linha:
. - Segunda linha:
.
Observação importante de leitura: interpreto
como o decimal periódico
(isto é, a sequência de 6 repete infinitamente). Se essa leitura estivesse diferente no enunciado original, a classificação poderia mudar, mas essa é a interpretação natural de reticências após uma cifra repetida.
Passo 2
O que significa ser racional ou irracional? Vou explicar devagarinho.
- Um número é racional quando ele pode ser escrito como uma fração
com e inteiros e . Exemplos: (que é ). - Um número é irracional quando não pode ser escrito dessa forma — não existe fração de inteiros que o represente. Exemplos clássicos:
.
Propriedades úteis que vou usar:
- Todo decimal finito (por exemplo
) ou decimal periódico (por exemplo ) é racional. - Um número na forma
com inteiros e é racional por definição. - Se
é uma razão racional não nula e é irracional, então e são irracionais. Em particular, dividir uma raiz irracional por um inteiro não nulo mantém a irracionalidade. - Se
é inteiro e não é quadrado perfeito, então é irracional. (Razão: a fatoração em primos de um quadrado tem todos os expoentes pares; se não é quadrado perfeito algum primo aparece com expoente ímpar, o que impede que seja racional.)
Passo 3
Classificando
.
-
é um decimal finito. Posso escrever
que é fração de inteiros; portanto
é racional.
Passo 4
Classificando
e
.
- Inteiros são racionais (podem ser escritos como
). Logo e são racionais.
Passo 5
Classificando
.
- O inteiro
não é um quadrado perfeito (os quadrados perfeitos próximos são ). Pela propriedade citada, não pode ser escrito como com inteiros , logo é irracional.
Breve intuição: se fosse racional, ao elevar ambos os lados ao quadrado obteria uma igualdade que, vista pela fatoração em primos, daria uma contradição porque os expoentes teriam de ser pares — e não são no caso de.
Passo 6
Classificando
.
- Está já escrita como razão de inteiros com denominador não zero. Portanto
é racional.
Passo 7
Classificando
.
- Sabemos que
é irracional (prova clássica por contradição). Dividir uma quantidade irracional por um inteiro não zero mantém a irracionalidade: se fosse racional, então (essa racional), o que contradiria a irracionalidade de . Portanto é irracional.
Passo 8
Classificando
.
- É um decimal finito. Converto para fração:
portanto é racional.
Passo 9
Classificando
.
-
, que é inteiro; inteiros são racionais. Logo é racional.
Passo 10
Classificando
(isto é,
).
- Seja
. Multiplicando por dá . - Subtraindo:
resulta em . - Então
que é uma fração de inteiros. Portanto
é racional.
Passo 11
Conclusão: entre os números dados, os irracionais são exatamente aqueles que contêm raiz quadrada de inteiro não quadrado e as suas combinações triviais preservando irracionalidade. Assim, os irracionais da lista são: