Dentre os números reais
5,3 & -2 & 10000000 & \sqrt{5} & \frac{632}{75} \
0 & \frac{\sqrt{2}}{3} & -8,75 & \sqrt{4} & 125,666 \ldots
indique quais são
irracionais.

Passo 1

O enunciado pede: dentre os números listados, indicar quais são irracionais. Os números dados são (usei a vírgula como separador decimal, padrão em português):
  • Primeira linha: 5,3,\\\ -2,\\\ 10000000,\\ \sqrt{5},\\ \dfrac{632}{75}.
  • Segunda linha: 0,\\ \dfrac{\sqrt{2}}{3},\\\ -8,75,\\ \sqrt{4},\\\ 125,666\ldots.
Observação importante de leitura: interpreto 125,666\ldots como o decimal periódico 125,\overline{6} (isto é, a sequência de 6 repete infinitamente). Se essa leitura estivesse diferente no enunciado original, a classificação poderia mudar, mas essa é a interpretação natural de reticências após uma cifra repetida.

Passo 2

O que significa ser racional ou irracional? Vou explicar devagarinho.
  • Um número é racional quando ele pode ser escrito como uma fração \dfrac{p}{q} com p e q inteiros e q\neq0. Exemplos: \dfrac{1}{2},\\\ -3,\\\ 0, \\\ 5,\\\ 0,75 (que é \dfrac{3}{4}).
  • Um número é irracional quando não pode ser escrito dessa forma — não existe fração de inteiros que o represente. Exemplos clássicos: \sqrt{2},\\ \pi, e.
    Propriedades úteis que vou usar:
  1. Todo decimal finito (por exemplo 5,3) ou decimal periódico (por exemplo 0,\overline{3}) é racional.
  2. Um número na forma \dfrac{a}{b} com inteiros a,b e b\neq0 é racional por definição.
  3. Se r é uma razão racional não nula e x é irracional, então r\cdot x e x/r são irracionais. Em particular, dividir uma raiz irracional por um inteiro não nulo mantém a irracionalidade.
  4. Se n é inteiro e não é quadrado perfeito, então \sqrt{n} é irracional. (Razão: a fatoração em primos de um quadrado tem todos os expoentes pares; se n não é quadrado perfeito algum primo aparece com expoente ímpar, o que impede que \sqrt{n} seja racional.)

Passo 3

Classificando 5,3.
  • 5,3 é um decimal finito. Posso escrever
5,3=\dfrac{53}{10},
que é fração de inteiros; portanto 5,3 é racional.

Passo 4

Classificando -2,\\\ 10000000 e 0.
  • Inteiros são racionais (podem ser escritos como \dfrac{-2}{1},\\ \dfrac{10000000}{1},\\ \dfrac{0}{1}). Logo -2,\\\ 10000000 e 0 são racionais.

Passo 5

Classificando \sqrt{5}.
  • O inteiro 5 não é um quadrado perfeito (os quadrados perfeitos próximos são 1,4,9). Pela propriedade citada, \sqrt{5} não pode ser escrito como \dfrac{p}{q} com inteiros p,q, logo \sqrt{5} é irracional.
    Breve intuição: se fosse racional, ao elevar ambos os lados ao quadrado obteria uma igualdade que, vista pela fatoração em primos, daria uma contradição porque os expoentes teriam de ser pares — e não são no caso de 5.

Passo 6

Classificando \dfrac{632}{75}.
  • Está já escrita como razão de inteiros com denominador não zero. Portanto \dfrac{632}{75} é racional.

Passo 7

Classificando \dfrac{\sqrt{2}}{3}.
  • Sabemos que \sqrt{2} é irracional (prova clássica por contradição). Dividir uma quantidade irracional por um inteiro não zero mantém a irracionalidade: se \dfrac{\sqrt{2}}{3} fosse racional, então \sqrt{2}=3\cdot (essa racional), o que contradiria a irracionalidade de \sqrt{2}. Portanto \dfrac{\sqrt{2}}{3} é irracional.

Passo 8

Classificando -8,75.
  • É um decimal finito. Converto para fração:
-8,75=-\dfrac{875}{100}=-\dfrac{35}{4},
portanto é racional.

Passo 9

Classificando \sqrt{4}.
  • \sqrt{4}=2, que é inteiro; inteiros são racionais. Logo \sqrt{4} é racional.

Passo 10

Classificando 125,666\ldots (isto é, 125,\overline{6}).
  • Seja x=125,\overline{6}. Multiplicando por 10 10x=1256,\overline{6}.
  • Subtraindo: 10x-x=1256,\overline{6}-125,\overline{6} resulta em 9x=1131.
  • Então
x=\dfrac{1131}{9}=\dfrac{377}{3},
que é uma fração de inteiros. Portanto 125,\overline{6} é racional.

Passo 11

Conclusão: entre os números dados, os irracionais são exatamente aqueles que contêm raiz quadrada de inteiro não quadrado e as suas combinações triviais preservando irracionalidade. Assim, os irracionais da lista são:
  • \sqrt{5}
  • \dfrac{\sqrt{2}}{3}

Resposta

\sqrt{5}
\dfrac{\sqrt{2}}{3}

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