Dentre os operadores lineares, o único operador que não é inversível é?
a) T(x, y)=(-2 x+4 y, 2 x-y)
b) T(x, y)=(-x+2 y,-3 x+6 y)
c) T(x, y)=(-2 x+4 y,-y+2 x)
d) T(x, y)=(2 x-4 y,-5 y+x)
e) T(x, y, z)=(x-y,-x+3 y- 2 z,-2 y)

Passo 1

O enunciado quer saber qual dos operadores lineares dados não é invertível. Em termos de matrizes, isso equivale a achar qual delas tem determinante zero. Para as opções (a)–(d) temos matrizes 2times2 e na (e) uma matriz 3times3.

Passo 2

Para a opção (a) a matriz é
A = -2 & 4 2 & -1
Calculamos
det(A) = (-2)cdot(-1) - 4cdot2 = 2 - 8 = -6 neq 0,
logo A é invertível.

Passo 3

Para a opção (b) a matriz é
B = -1 & 2 -3 & 6
Calculamos
det(B) = (-1)cdot6 - 2cdot(-3) = -6 + 6 = 0,
logo B é singular e, portanto, não invertível.

Passo 4

Nas opções (c) e (d) temos as matrizes
C = -2 & 42 & -1, D = 2 & -41 & -5
Para C
det(C)=(-2)cdot(-1)-4cdot2=2-8=-6neq0,
e para D
det(D)=2cdot(-5)-(-4)cdot1=-10+4=-6neq0
Ambas são invertíveis.

Passo 5

Para a opção (e) a matriz 3times3 é
E= 1 & -1 & 0 -1 & 3 & -2 0 & -2 & 0
Usando a regra de Sarrus (ou expansão de Laplace na primeira linha):
det(E) =1l(3cdot0-(-2)cdot(-2)r) -(-1)l((-1)cdot0-(-2)cdot0r) +0cdotldots =1cdot(0-4)-(-1)cdot0 =-4neq0
Portanto E é invertível.

Resposta

b) ,T(x,y)=(-x+2y,,-3x+6y) é o único que não é invertível, pois seu determinante é zero.

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