Seja T: R^3 R^2 definida por T(x, y, z)=(x+y, 2 z) e sejam A=(1,1,0),(1,0,1),(0,0,-1) base de R^3 e B=(1,0),(1,1) base de R^2. A matriz [T]B^A é representada por?
a) [lll3 & -1 & 2 0 & -1 & 1]
b) [cc2 & -2 4 & 1 1 & 0]
c) [lll1 & 1 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2]
d) [ccc2 & -1 & 2 0 & 2 & -2]
e) [ll1 & 0 1 & 2]

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear Tcolon R^3toR^2 por
T(x,y,z) = (x+y,;2z),
e dá as bases
A = (1,1,0),,(1,0,1),,(0,0,-1)em R^3,
B = (1,0),,(1,1)em R^2
Para obter a matriz [T]B^A precisamos calcular T em cada vetor de A e expressar o resultado em coordenadas na base B. Cada coluna de [T]B^A será o vetor de coordenadas de T(vi) em B.

Passo 2

Calcular T em v1=(1,1,0):
T(1,1,0) = (1+1,;2cdot 0) = (2,0)
Procuramos escalares a,b tais que
a,(1,0) + b,(1,1) = (2,0)
Isso dá o sistema a+b=2, b=0. Logo b=0, a=2. Portanto a primeira coluna é
l[T(1,1,0)r]B = 20

Passo 3

Calcular T em v2=(1,0,1) e v3=(0,0,-1):
Para v2:
T(1,0,1) = (1+0,;2cdot1) = (1,2),
e resolvendo
a,(1,0)+b,(1,1) = (1,2)
vem b=2, a=-1. Então a segunda coluna é
l[T(1,0,1)r]B = -12
Para v3:
T(0,0,-1) = (0+0,;2cdot(-1)) = (0,-2),
e resolvendo
a,(1,0)+b,(1,1) = (0,-2)
vem b=-2, a=2. Assim a terceira coluna é
l[T(0,0,-1)r]B = 2-2

Passo 4

Juntando as colunas obtemos
[T]B^A = 2 & -1 & 2 0 & 2 & -2
Isso corresponde à alternativa (d).

Resposta

d) 2 & -1 & 20 & 2 & -2

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