Encontre o máximo e mínimo das funções abaixo no intervalo indicado(ou mostre que não existe)
f(x)=x^{3}-2 x+1 em [0,1]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o máximo e o mínimo da função
f(x)=x^{3}-2x+1
no intervalo fechado [0,1].
O conteúdo envolvido é cálculo de extremos de função diferenciável em intervalo fechado, usando derivada para achar pontos críticos e avaliando nesses pontos e nas extremidades.

Passo 2

Calcule a derivada de f e determine os pontos críticos:
f'(x)=3x^{2}-2.
Para encontrar pontos onde f'(x)=0, resolvemos
3x^{2}-2=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=\frac{2}{3} \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}.
No intervalo [0,1] só interessa
x_{\mathrm{c}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\approx0{,}816.

Passo 3

Avalie f nos extremos e no ponto crítico:
f(0)=0^{3}-2\cdot0+1=1,
f(1)=1^{3}-2\cdot1+1=0,
f\Bigl(\sqrt{\tfrac{2}{3}}\Bigr) =\Bigl(\sqrt{\tfrac{2}{3}}\Bigr)^{3}-2\sqrt{\tfrac{2}{3}}+1 =1-\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3}} =1-\frac{4\sqrt{6}}{9}\approx -0{,}0887.

Passo 4

Compare os três valores:
  • Em x=0, f(0)=1.
  • Em x=1, f(1)=0.
  • Em x=\sqrt{\tfrac{2}{3}}, f\bigl(\sqrt{\tfrac{2}{3}}\bigr)=1-\tfrac{4\sqrt{6}}{9}\approx -0{,}089.
Logo o maior valor é 1 e o menor é 1-\tfrac{4\sqrt{6}}{9}.

Resposta

Máximo de f em [0,1] é
\max_{[0,1]}f=1\quad\text{em }x=0,
Mínimo de f em [0,1] é
\min_{[0,1]}f=1-\frac{4\sqrt{6}}{9}\quad\text{em }x=\sqrt{\frac{2}{3}}.

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