Dentre os retângulos inscritos na elipse de equação
encontre as dimensões do que tem maior área. (Todo retângulo inscrito nesta elipse tem lados paralelos aos eixos. Use este fato)
Passo 1
O enunciado pede o retângulo de maior área inscrito na elipse
, sabendo que seus lados são paralelos aos eixos
e
. Para resolver, vamos parametrizar o retângulo por meio das coordenadas de um vértice e usar otimização (derivada).
Passo 2
Se o retângulo tem vértices em
, então
satisfaz a equação da elipse, isto é,
e a área do retângulo é
Passo 3
Da condição da elipse isolamos
em função de
:
Substituindo em
, obtemos a função de área em uma variável:
Passo 4
Para achar o máximo, derivamos
e igualamos a zero:
Passo 5
A condição
leva a
Passo 6
Com
, calculamos
Resposta
A largura do retângulo é
e a altura é
.