Dentre os retângulos inscritos na elipse de equação \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}=1 encontre as dimensões do que tem maior área. (Todo retângulo inscrito nesta elipse tem lados paralelos aos eixos. Use este fato)

Passo 1

O enunciado pede o retângulo de maior área inscrito na elipse \frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}=1, sabendo que seus lados são paralelos aos eixos x e y. Para resolver, vamos parametrizar o retângulo por meio das coordenadas de um vértice e usar otimização (derivada).

Passo 2

Se o retângulo tem vértices em (\pm a,\pm b), então (a,b) satisfaz a equação da elipse, isto é,
\frac{a^2}{3}+\frac{b^2}{4}=1
e a área do retângulo é
A= (2a)\times(2b)=4ab.

Passo 3

Da condição da elipse isolamos b em função de a:
b^2=4\Bigl(1-\frac{a^2}{3}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad b=2\sqrt{1-\frac{a^2}{3}}.
Substituindo em A, obtemos a função de área em uma variável:
A(a)=4a\;\Bigl(2\sqrt{1-\tfrac{a^2}{3}}\Bigr) =8\,a\sqrt{1-\frac{a^2}{3}}.

Passo 4

Para achar o máximo, derivamos A(a) e igualamos a zero:
A'(a) =8\!\Bigl(\sqrt{1-\tfrac{a^2}{3}} \;+\;a\cdot\frac{1}{2\sqrt{1-\tfrac{a^2}{3}}}\cdot\bigl(-\tfrac{2a}{3}\bigr)\Bigr) =8\!\Bigl(\sqrt{1-\tfrac{a^2}{3}} -\frac{a^2}{3\sqrt{1-\tfrac{a^2}{3}}}\Bigr)=0.

Passo 5

A condição A'(a)=0 leva a
\sqrt{1-\frac{a^2}{3}} =\frac{a^2}{3\,\sqrt{1-\tfrac{a^2}{3}}} \quad\Longrightarrow\quad 1-\frac{a^2}{3}=\frac{a^2}{3} \quad\Longrightarrow\quad a^2=\frac{3}{2} \quad\Longrightarrow\quad a=\sqrt{\tfrac{3}{2}}.

Passo 6

Com a^2=\tfrac32, calculamos
b^2 =4\Bigl(1-\tfrac{a^2}{3}\Bigr) =4\Bigl(1-\tfrac{1}{2}\Bigr) =2 \quad\Longrightarrow\quad b=\sqrt{2}.

Resposta

A largura do retângulo é 2a=2\sqrt{\tfrac{3}{2}}=\sqrt{6} e a altura é 2b=2\sqrt{2}.

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